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对一元线性回归分析，记回归残差为e1,e2,⋯ ,ene_1,e_2,\cdots ,e_n（ei=yi−y^i  i=1,2,⋯ ,ne_i=y_i-\hat{y}_i\,\,i=1,2,\cdots ,n）。 ...
Nov 29, 2024
对一元线性回归分析，记回归残差为e1,e2,⋯ ,ene_1,e_2,\cdots ,e_n（ei=yi−y^i  i=1,2,⋯ ,ne_i=y_i-\hat{y}_i\,\,i=1,2,\cdots ,n）。 （1）证明Σni=1ei=0\underset{i=1}{\overset{n}{\varSigma}}e_i=0，Σni=1xiei=0\underset{i=1}{\overset{n}{\varSigma}}x_ie_i=0。 （2）证明y^i−y‾=β^1(xi−x‾)\hat{y}_i-\overline{y}=\hat{\beta}_1\left( x_i-\overline{x} \right) ，并基于此写出由β^1\hat{\beta}_1计算回归离差平方和SSRSSR计算式。
Solution by Steps
step 1
证明 ∑i=1nei=0\sum_{i=1}^{n} e_i = 0：根据回归模型的性质，残差 ei=yi−y^ie_i = y_i - \hat{y}_i，因此有：∑i=1nei=∑i=1n(yi−y^i)=∑i=1nyi−∑i=1ny^i\sum_{i=1}^{n} e_i = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i) = \sum_{i=1}^{n} y_i - \sum_{i=1}^{n} \hat{y}_i 由于 y^i\hat{y}_i 是通过最小二乘法得到的，故 ∑i=1ny^i=∑i=1nyi\sum_{i=1}^{n} \hat{y}_i = \sum_{i=1}^{n} y_i，从而得出 ∑i=1nei=0\sum_{i=1}^{n} e_i = 0。
step 2
证明 ∑i=1nxiei=0\sum_{i=1}^{n} x_i e_i = 0：我们知道 y^i=β^0+β^1xi\hat{y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_i，因此有：∑i=1nxiei=∑i=1nxi(yi−y^i)=∑i=1nxiyi−∑i=1nxiy^i\sum_{i=1}^{n} x_i e_i = \sum_{i=1}^{n} x_i (y_i - \hat{y}_i) = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i - \sum_{i=1}^{n} x_i \hat{y}_i 由于 y^i\hat{y}_i 是通过最小二乘法得到的，故 ∑i=1nxiy^i=β^0∑i=1nxi+β^1∑i=1nxi2\sum_{i=1}^{n} x_i \hat{y}_i = \hat{\beta}_0 \sum_{i=1}^{n} x_i + \hat{\beta}_1 \sum_{i=1}^{n} x_i^2，而 ∑i=1nxiei=0\sum_{i=1}^{n} x_i e_i = 0。
step 3
证明 y^i−y‾=β^1(xi−x‾)\hat{y}_i - \overline{y} = \hat{\beta}_1 (x_i - \overline{x})：根据回归模型的定义，y^i=β^0+β^1xi\hat{y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_i，而 y‾=β^0+β^1x‾\overline{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 \overline{x}，因此有：y^i−y‾=β^1xi−β^1x‾=β^1(xi−x‾)\hat{y}_i - \overline{y} = \hat{\beta}_1 x_i - \hat{\beta}_1 \overline{x} = \hat{\beta}_1 (x_i - \overline{x})。
step 4
由 β^1\hat{\beta}_1 计算回归离差平方和 SSRSSR 的计算式为：SSR=∑i=1n(y^i−y‾)2=β^12∑i=1n(xi−x‾)2SSR = \sum_{i=1}^{n} (\hat{y}_i - \overline{y})^2 = \hat{\beta}_1^2 \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2。
Answer
1. 证明 ∑i=1nei=0\sum_{i=1}^{n} e_i = 0 和 ∑i=1nxiei=0\sum_{i=1}^{n} x_i e_i = 0；2. 证明 y^i−y‾=β^1(xi−x‾)\hat{y}_i - \overline{y} = \hat{\beta}_1 (x_i - \overline{x}) 并给出 SSRSSR 的计算式。
Key Concept
一元线性回归的残差性质和回归离差平方和的计算
Explanation
通过最小二乘法的性质，我们可以证明残差的和为零，并且推导出回归离差平方和的计算公式。
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