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Esta atividade tem o objetivo de utilizar as premissas e axiomas de probabilidad...
Apr 10, 2024
Esta atividade tem o objetivo de utilizar as premissas e axiomas de probabilidade para análise de situações de cunho prático, compreendendo as aplicações das distribuições de probabilidades no escopo da inferência estatística. A unidade de medida da densidade da intensidade de luz é denominada lux, sendo que um lux corresponde a um watt por metro quadrado (1 lux = 1 W/m2). A intensidade da luz segue distribuição de Poisson com taxa média (λ) igual a 0,5 partículas por segundo, e que emitida por uma fonte fotovoltaica é sensibilizada ao ser atingida por 3 ou mais partículas. Considerando o contexto apresentado, calcule o que se pede a seguir: 1- Quantas partículas a fonte fotovoltaica emite em média a cada 2 segundos? 2- Calcule a probabilidade de a fonte fotovoltaica emitir menos de 3 partículas em 2 segundos. 3- Calcule a probabilidade de uma placa, exposta por 2 segundos à frente da fonte fotovoltaica, ficar sensibilizada. 4- Se 5 placas são colocadas, uma após outra, durante 2 segundos cada uma em frente à fonte, qual a probabilidade de somente uma delas ser sensibilizada?
Solution by Steps
step 1
Para calcular a média de partículas emitidas a cada 2 segundos, multiplicamos a taxa média por segundo (λ) pelo tempo em segundos
step 2
A média de partículas emitidas a cada 2 segundos é: λ2s=λ×2 \lambda_{2s} = \lambda \times 2
step 3
Substituindo o valor de λ \lambda dado: λ2s=0.5×2 \lambda_{2s} = 0.5 \times 2
Answer
A fonte fotovoltaica emite em média 1 partícula a cada 2 segundos.
Key Concept
Taxa média de um processo de Poisson
Explanation
A taxa média de um processo de Poisson é multiplicada pelo intervalo de tempo para encontrar a média de eventos nesse intervalo.
Solution by Steps
step 1
Para calcular a probabilidade de emitir menos de 3 partículas em 2 segundos, usamos a função de probabilidade da distribuição de Poisson
step 2
A probabilidade de emitir k k partículas é dada por: P(X=k)=e−λλkk! P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}
step 3
Calculamos a probabilidade de emitir 0, 1 ou 2 partículas e somamos os resultados: P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
step 4
Substituímos λ \lambda por 1 (do passo anterior) e calculamos cada termo: P(X<3) = \frac{e^{-1} 1^0}{0!} + \frac{e^{-1} 1^1}{1!} + \frac{e^{-1} 1^2}{2!}
step 5
Simplificamos e somamos os termos: P(X<3) = e^{-1} + e^{-1} + \frac{e^{-1}}{2}
Answer
A probabilidade de a fonte fotovoltaica emitir menos de 3 partículas em 2 segundos é e−1+e−1+e−12 e^{-1} + e^{-1} + \frac{e^{-1}}{2} .
Key Concept
Probabilidade acumulada na distribuição de Poisson
Explanation
Para encontrar a probabilidade acumulada de menos de um certo número de eventos em um processo de Poisson, somamos as probabilidades de todos os eventos com contagem menor que esse número.
Solution by Steps
step 1
A probabilidade de uma placa ficar sensibilizada é a probabilidade de emitir 3 ou mais partículas em 2 segundos
step 2
Calculamos a probabilidade complementar de emitir menos de 3 partículas: P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3)
step 3
Usamos o resultado do cálculo de P(X < 3) da questão anterior
step 4
Substituímos e calculamos: P(X≥3)=1−(e−1+e−1+e−12) P(X \geq 3) = 1 - (e^{-1} + e^{-1} + \frac{e^{-1}}{2})
Answer
A probabilidade de uma placa ficar sensibilizada é 1−(e−1+e−1+e−12) 1 - (e^{-1} + e^{-1} + \frac{e^{-1}}{2}) .
Key Concept
Probabilidade complementar
Explanation
A probabilidade de um evento complementar é 1 menos a probabilidade do evento original.
Solution by Steps
step 1
Para calcular a probabilidade de somente uma placa ser sensibilizada entre 5, usamos a distribuição binomial
step 2
A probabilidade de sucesso (uma placa sensibilizada) é P(X≥3) P(X \geq 3) e a de falha é 1−P(X≥3) 1 - P(X \geq 3)
step 3
A função de probabilidade binomial é: P(Y=k)=(nk)pk(1−p)n−k P(Y=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
step 4
Substituímos n=5 n = 5 , k=1 k = 1 e p=P(X≥3) p = P(X \geq 3) para calcular P(Y=1) P(Y=1) : P(Y=1)=(51)(P(X≥3))1(1−P(X≥3))5−1 P(Y=1) = \binom{5}{1} (P(X \geq 3))^1 (1 - P(X \geq 3))^{5-1}
step 5
Usamos o resultado de P(X≥3) P(X \geq 3) da questão anterior para calcular P(Y=1) P(Y=1)
Answer
A probabilidade de somente uma das 5 placas ser sensibilizada é (51)(P(X≥3))1(1−P(X≥3))4 \binom{5}{1} (P(X \geq 3))^1 (1 - P(X \geq 3))^{4} .
Key Concept
Distribuição binomial
Explanation
A distribuição binomial modela o número de sucessos em uma sequência de ensaios de Bernoulli independentes com a mesma probabilidade de sucesso.
resultado das questões
Solution by Steps
step 1
Para calcular a média de partículas emitidas a cada 2 segundos, multiplicamos a taxa média por segundo (λ) pelo tempo em segundos
step 2
A taxa média (λ) é 0,5 partículas por segundo, então para 2 segundos temos: λ2s=λ×2=0,5×2 \lambda_{2s} = \lambda \times 2 = 0,5 \times 2
step 3
Calculamos a nova taxa média para 2 segundos: λ2s=1 \lambda_{2s} = 1
Answer
A fonte fotovoltaica emite em média 1 partícula a cada 2 segundos.
Key Concept
Taxa média de um processo de Poisson
Explanation
A taxa média de emissão de partículas é proporcional ao intervalo de tempo considerado.
Solution by Steps
step 1
Para calcular a probabilidade de emitir menos de 3 partículas em 2 segundos, usamos a função de probabilidade da distribuição de Poisson
step 2
A probabilidade de emitir exatamente k k partículas é dada por: P(X=k)=e−λλkk! P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} onde λ \lambda é a média de partículas emitidas no intervalo de tempo e k k é o número de partículas
step 3
Calculamos a probabilidade de emitir 0, 1 ou 2 partículas: P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
step 4
Substituímos λ \lambda por 1 (a média para 2 segundos) e calculamos cada termo: P(X<3) = e^{-1} \left( \frac{1^0}{0!} + \frac{1^1}{1!} + \frac{1^2}{2!} \right)
step 5
Simplificamos e somamos os termos: P(X<3) = e^{-1} \left( 1 + 1 + \frac{1}{2} \right)
step 6
Calculamos o valor numérico: P(X<3) = e^{-1} \times 2.5
Answer
A probabilidade de a fonte fotovoltaica emitir menos de 3 partículas em 2 segundos é e−1×2.5 e^{-1} \times 2.5 .
Key Concept
Probabilidade acumulada em uma distribuição de Poisson
Explanation
A probabilidade de ocorrer menos de um certo número de eventos é a soma das probabilidades de ocorrer cada número de eventos até aquele ponto.
Solution by Steps
step 1
Para calcular a probabilidade de uma placa ficar sensibilizada, precisamos da probabilidade de emitir 3 ou mais partículas
step 2
Usamos o complemento da probabilidade calculada no passo anterior: P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3)
step 3
Substituímos P(X < 3) pelo valor calculado anteriormente: P(X≥3)=1−e−1×2.5 P(X \geq 3) = 1 - e^{-1} \times 2.5
Answer
A probabilidade de uma placa, exposta por 2 segundos à frente da fonte fotovoltaica, ficar sensibilizada é 1−e−1×2.5 1 - e^{-1} \times 2.5 .
Key Concept
Complemento da probabilidade
Explanation
A probabilidade de um evento ocorrer é o complemento da probabilidade de ele não ocorrer.
Solution by Steps
step 1
Para calcular a probabilidade de somente uma das 5 placas ser sensibilizada, usamos a distribuição binomial
step 2
A probabilidade de sucesso (placa sensibilizada) é P(X≥3) P(X \geq 3) e a de falha (placa não sensibilizada) é P(X < 3)
step 3
A probabilidade de exatamente uma placa ser sensibilizada é dada por: P(Y=1) = \binom{5}{1} (P(X \geq 3))^1 (P(X < 3))^{5-1}
step 4
Substituímos P(X≥3) P(X \geq 3) e P(X < 3) pelos valores calculados anteriormente: P(Y=1)=5×(1−e−1×2.5)×(e−1×2.5)4 P(Y=1) = 5 \times (1 - e^{-1} \times 2.5) \times (e^{-1} \times 2.5)^4
Answer
A probabilidade de somente uma das 5 placas ser sensibilizada é 5×(1−e−1×2.5)×(e−1×2.5)4 5 \times (1 - e^{-1} \times 2.5) \times (e^{-1} \times 2.5)^4 .
Key Concept
Distribuição binomial
Explanation
A distribuição binomial modela o número de sucessos em uma sequência de ensaios independentes com a mesma probabilidade de sucesso.
What statistical methods can be used to analyze the results of the questions
Solution by Steps
step 1
Para calcular a média de partículas emitidas a cada 2 segundos, multiplicamos a taxa média por segundo (λ) pelo tempo em segundos
step 2
Usando a taxa média λ = 0,5 partículas por segundo, temos: λ2s=λ×2=0,5×2 \lambda_{2s} = \lambda \times 2 = 0,5 \times 2
step 3
Calculamos a nova taxa média para 2 segundos: λ2s=1 \lambda_{2s} = 1
Answer
A fonte fotovoltaica emite em média 1 partícula a cada 2 segundos.
Key Concept
Taxa média de um processo de Poisson
Explanation
A taxa média de um processo de Poisson é multiplicada pelo intervalo de tempo para encontrar a média de eventos nesse intervalo.
step 1
Para calcular a probabilidade de emitir menos de 3 partículas em 2 segundos, usamos a função de probabilidade da distribuição de Poisson
step 2
A probabilidade de k eventos em um processo de Poisson é dada por: P(X=k)=e−λλkk! P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} onde λ \lambda é a média de eventos no intervalo de tempo e k k é o número de eventos
step 3
Calculamos a probabilidade de emitir 0, 1 ou 2 partículas (menos de 3): P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
step 4
Substituímos λ \lambda por 1 (a média em 2 segundos) e calculamos cada termo: P(X<3) = e^{-1} \left( \frac{1^0}{0!} + \frac{1^1}{1!} + \frac{1^2}{2!} \right)
step 5
Simplificamos e somamos os termos: P(X<3) = e^{-1} \left( 1 + 1 + \frac{1}{2} \right)
step 6
Calculamos o valor numérico: P(X<3) = e^{-1} \times 2.5
Answer
A probabilidade de a fonte fotovoltaica emitir menos de 3 partículas em 2 segundos é e−1×2.5 e^{-1} \times 2.5 .
Key Concept
Probabilidade em uma distribuição de Poisson
Explanation
A probabilidade de ocorrer um número específico de eventos em um processo de Poisson é calculada usando a função de massa de probabilidade da distribuição.
step 1
Para calcular a probabilidade de uma placa ficar sensibilizada, precisamos da probabilidade de emitir 3 ou mais partículas
step 2
Usamos o complemento da probabilidade de emitir menos de 3 partículas: P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3)
step 3
Substituímos P(X < 3) pelo valor calculado anteriormente: P(X≥3)=1−e−1×2.5 P(X \geq 3) = 1 - e^{-1} \times 2.5
Answer
A probabilidade de uma placa ficar sensibilizada é 1−e−1×2.5 1 - e^{-1} \times 2.5 .
Key Concept
Complemento de uma probabilidade
Explanation
O complemento de uma probabilidade é usado para encontrar a probabilidade do evento oposto ao que foi calculado.
step 1
Para calcular a probabilidade de somente uma das 5 placas ser sensibilizada, usamos a distribuição binomial
step 2
A probabilidade de sucesso (placa sensibilizada) é P(X≥3) P(X \geq 3) e a de falha é 1−P(X≥3) 1 - P(X \geq 3)
step 3
A probabilidade de exatamente um sucesso em 5 tentativas é dada por: P(Y=1)=(51)(P(X≥3))1(1−P(X≥3))5−1 P(Y=1) = \binom{5}{1} (P(X \geq 3))^1 (1 - P(X \geq 3))^{5-1}
step 4
Substituímos P(X≥3) P(X \geq 3) pelo valor calculado anteriormente e simplificamos: P(Y=1)=5×(1−e−1×2.5)×(e−1×2.5)4 P(Y=1) = 5 \times (1 - e^{-1} \times 2.5) \times (e^{-1} \times 2.5)^4
Answer
A probabilidade de somente uma das 5 placas ser sensibilizada é 5×(1−e−1×2.5)×(e−1×2.5)4 5 \times (1 - e^{-1} \times 2.5) \times (e^{-1} \times 2.5)^4 .
Key Concept
Distribuição binomial
Explanation
A distribuição binomial é usada para calcular a probabilidade de um número fixo de sucessos em um número fixo de tentativas independentes.
calculo detalhado
Claro, vamos calcular essas probabilidades detalhadamente. Para começar, vamos calcular o número médio de partículas emitidas por fonte fotovoltaica a cada 2 segundos usando a distribuição de Poisson. Em seguida, podemos calcular a probabilidade de emitir menos de 3 partículas em 2 segundos. Depois, podemos determinar a probabilidade de uma placa se sensibilizar quando exposta à fonte por 2 segundos. Por fim, vamos calcular a probabilidade de apenas uma em cinco placas se sensibilizar quando expostas por 2 segundos cada. Vamos começar com os cálculos!
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