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质量为𝑚1、初始速度为𝑢的粒子与质量为𝑚2的静止粒子发生弹性碰撞。粒子分别以𝑣1和𝑣2的速度移动，在𝑚1初始入射方向两侧的角度相等。 (i)𝑚1/m2的最大比...
Sep 23, 2024
质量为𝑚1、初始速度为𝑢的粒子与质量为𝑚2的静止粒子发生弹性碰撞。粒子分别以𝑣1和𝑣2的速度移动，在𝑚1初始入射方向两侧的角度相等。 (i)𝑚1/m2的最大比例是多少才能满足这个等角条件? (ii)当𝑚1 =𝑚2时，在此等角条件下，粒子𝑚1的最大偏转角为多少?
Solution
a
在弹性碰撞中，动量守恒和能量守恒是关键。根据动量守恒定律，我们有：m1u=m1v1+m2v2m_1 u = m_1 v_1 + m_2 v_2。同时，能量守恒给出：12m1u2=12m1v12+12m2v22\frac{1}{2} m_1 u^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2。通过这两个方程，我们可以推导出质量比的最大值。
b
设定入射角为θ\theta，根据几何关系，得出v1=ucos⁡(θ)v_1 = u \cos(\theta)和v2=usin⁡(θ)v_2 = u \sin(\theta)。将这些表达式代入动量和能量守恒方程，经过化简，我们可以得到m1m2≤1+cos⁡(θ)1−cos⁡(θ)\frac{m_1}{m_2} \leq \frac{1 + \cos(\theta)}{1 - \cos(\theta)}。当θ\theta取最大值时，m1m2\frac{m_1}{m_2}达到最大比例。
c
当m1=m2m_1 = m_2时，代入上述不等式，得到m1m2=1\frac{m_1}{m_2} = 1。在此条件下，最大偏转角可以通过几何关系和动量守恒来求解，最终得出最大偏转角为θmax=90∘\theta_{max} = 90^\circ。
Answer
(i) 最大比例为 1+cos⁡(θ)1−cos⁡(θ)\frac{1 + \cos(\theta)}{1 - \cos(\theta)}；(ii) 最大偏转角为 90∘90^\circ
Key Concept
动量守恒和能量守恒是弹性碰撞的基本原则。动量守恒公式为m1u=m1v1+m2v2m_1 u = m_1 v_1 + m_2 v_2，能量守恒公式为12m1u2=12m1v12+12m2v22\frac{1}{2} m_1 u^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2。
Explanation
通过动量和能量守恒定律，我们可以推导出质量比的最大值和偏转角，从而解决问题。
Solution
a
根据动量守恒定律，平行方向的动量守恒方程为：m1u=m1v1cos⁡θ+m2v2cos⁡θm_1 u = m_1 v_1 \cos \theta + m_2 v_2 \cos \theta，垂直方向的动量守恒方程为：m1v1sin⁡θ=m2v2sin⁡θm_1 v_1 \sin \theta = m_2 v_2 \sin \theta。从中可以得出m1v1=m2v2m_1 v_1 = m_2 v_2，因此有u=2v1cos⁡θu = 2 v_1 \cos \theta。
b
根据能量守恒定律，能量守恒方程为：m1u2=m1v12+m2v22m_1 u^2 = m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2。通过代入uu的表达式，我们可以得到u2=v12(1+v1v2)u^2 = v_1^2(1 + \frac{v_1}{v_2})。
c
消去uu后，我们得到4cos⁡2θ=1+m1m24 \cos^2 \theta = 1 + \frac{m_1}{m_2}。从这个方程可以推导出m1m2\frac{m_1}{m_2}的最大值为3，当θ→0\theta \rightarrow 0时达到。
d
当m1=m2m_1 = m_2时，代入cos⁡θ=12\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}，可以得到θ=π4=45∘\theta = \frac{\pi}{4} = 45^{\circ}。
Answer
(i) 最大比例为 33；(ii) 最大偏转角为 45∘45^{\circ}
Key Concept
动量守恒和能量守恒是解决弹性碰撞问题的关键。动量守恒定律表明在没有外力作用下，系统的总动量保持不变；能量守恒定律表明在没有非保守力作用下，系统的总能量保持不变。相关方程为：m1u=m1v1+m2v2m_1 u = m_1 v_1 + m_2 v_2 和 12m1u2=12m1v12+12m2v22\frac{1}{2} m_1 u^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2。
Explanation
通过动量和能量守恒的方程，我们可以推导出质量比的最大值和偏转角，从而解决问题。
详细讲解这道题的所有知识点，什么是动量守恒和能量守恒是解决弹性碰撞问题？
Solution
a
在弹性碰撞中，动量守恒和能量守恒是解决问题的关键。动量守恒定律表明，系统的总动量在碰撞前后保持不变。对于两个粒子，动量守恒可以表示为：m1u=m1v1+m2v2m_1 u = m_1 v_1 + m_2 v_2。同时，能量守恒定律表明，系统的总能量在碰撞前后也保持不变，表达为：12m1u2=12m1v12+12m2v22\frac{1}{2} m_1 u^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2。这两个定律是分析弹性碰撞的基础。
b
在弹性碰撞中，特别是当粒子以相同的角度偏转时，我们可以利用几何关系来推导出质量比的最大值。设入射角为θ\theta，根据几何关系，我们可以得到v1=ucos⁡(θ)v_1 = u \cos(\theta)和v2=usin⁡(θ)v_2 = u \sin(\theta)。将这些表达式代入动量和能量守恒方程，经过化简，我们可以得到m1m2≤1+cos⁡(θ)1−cos⁡(θ)\frac{m_1}{m_2} \leq \frac{1 + \cos(\theta)}{1 - \cos(\theta)}。
c
当m1=m2m_1 = m_2时，代入θ=45∘\theta = 45^{\circ}，我们可以得到最大偏转角为90∘90^{\circ}。这表明在特定条件下，粒子可以完全偏转。
Answer
(i) 最大比例为 33；(ii) 最大偏转角为 45∘45^{\circ}
Key Concept
动量守恒和能量守恒是分析弹性碰撞的基本原则。动量守恒表明系统的总动量在碰撞前后保持不变，而能量守恒则表明系统的总能量在碰撞前后也保持不变。相关方程为：m1u=m1v1+m2v2m_1 u = m_1 v_1 + m_2 v_2 和 12m1u2=12m1v12+12m2v22\frac{1}{2} m_1 u^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2。
Explanation
通过动量和能量守恒定律，我们能够推导出粒子在弹性碰撞中的行为，特别是质量比和偏转角的关系。
什么叫做等角条件
Solution
a
等角条件是指在弹性碰撞中，两个粒子在碰撞后以相同的角度偏转。这个条件通常用于分析碰撞的几何关系，特别是在涉及到动量和能量守恒的情况下。通过设定入射角为θ\theta，我们可以推导出粒子在碰撞后的速度和方向。
b
在等角条件下，粒子质量的比值和偏转角之间存在特定的关系。通过动量守恒和能量守恒的方程，我们可以得出最大质量比和最大偏转角的公式。这些公式帮助我们理解在特定条件下，粒子如何相互作用并改变其运动状态。
Answer
等角条件是指在弹性碰撞中，两个粒子在碰撞后以相同的角度偏转。
Key Concept
弹性碰撞中的动量守恒和能量守恒是解决等角条件问题的基础。动量守恒表明系统的总动量在碰撞前后保持不变，能量守恒则表明系统的总能量在碰撞前后也保持不变。相关方程为：m1u=m1v1+m2v2m_1 u = m_1 v_1 + m_2 v_2 和 12m1u2=12m1v12+12m2v22\frac{1}{2} m_1 u^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2。
Explanation
等角条件帮助我们分析粒子在碰撞后的运动状态，特别是在涉及到相同偏转角的情况下。通过动量和能量的守恒，我们可以推导出相关的质量比和偏转角。
碰撞前和碰撞后
Solution
a
在碰撞前，两个粒子的动量和能量可以用以下公式表示：动量为pinitial=m1u+m2⋅0=m1up_{initial} = m_1 u + m_2 \cdot 0 = m_1 u，能量为Einitial=12m1u2+0=12m1u2E_{initial} = \frac{1}{2} m_1 u^2 + 0 = \frac{1}{2} m_1 u^2。
b
在碰撞后，动量和能量的表达式为：动量为pfinal=m1v1+m2v2p_{final} = m_1 v_1 + m_2 v_2，能量为Efinal=12m1v12+12m2v22E_{final} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2。
c
根据动量守恒定律，我们有m1u=m1v1+m2v2m_1 u = m_1 v_1 + m_2 v_2，根据能量守恒定律，我们有12m1u2=12m1v12+12m2v22\frac{1}{2} m_1 u^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2。这两个方程可以用来分析碰撞前后的状态。
Answer
动量和能量在碰撞前后保持守恒。
Key Concept
动量守恒定律和能量守恒定律是分析碰撞问题的基础。动量守恒定律表明，系统的总动量在碰撞前后保持不变，而能量守恒定律表明，系统的总能量在碰撞前后也保持不变。
Explanation
在弹性碰撞中，动量和能量的守恒使我们能够通过初始和最终状态的关系来分析粒子的运动。
什么是动量守恒定律
Solution
a
动量守恒定律表明，在一个封闭系统中，碰撞前后总动量保持不变。对于两个粒子，动量守恒可以表示为：m1u+m2v2=m1v1+m2v2m_1 u + m_2 v_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2，其中m1m_1和m2m_2是粒子的质量，uu是初始速度，v1v_1和v2v_2是碰撞后的速度。
b
动量守恒定律的应用意味着在碰撞过程中，系统的总动量在碰撞前后是相等的。这是分析碰撞问题的基础，尤其是在弹性碰撞中。
c
动量守恒定律与能量守恒定律相辅相成，能量守恒定律表明，系统的总能量在碰撞前后也保持不变，表达为：12m1u2+12m2v22=12m1v12+12m2v22\frac{1}{2} m_1 u^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2。
Answer
动量守恒定律是指在一个封闭系统中，碰撞前后总动量保持不变。
Key Concept
动量守恒定律：在一个封闭系统中，碰撞前后总动量保持不变。公式为：m1u+m2v2=m1v1+m2v2m_1 u + m_2 v_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2。
Explanation
动量守恒定律是分析碰撞问题的基础，确保在碰撞过程中动量的总和不变。通过这个定律，我们可以推导出碰撞前后的速度关系。
怎么求动量
Solution
a
动量是物体的质量与其速度的乘积，公式为：p=mvp = mv，其中pp是动量，mm是质量，vv是速度。要计算一个物体的动量，首先需要知道它的质量和速度。
b
在碰撞过程中，动量守恒定律表明，碰撞前后的总动量是相等的。对于两个物体的碰撞，动量守恒可以表示为：m1u+m2v2=m1v1+m2v2m_1 u + m_2 v_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2。通过这个方程，我们可以求出碰撞前后的动量变化。
Answer
动量是物体的质量与速度的乘积，动量守恒定律表明碰撞前后的总动量保持不变。
Key Concept
动量定义：p=mvp = mv，动量守恒定律：m1u+m2v2=m1v1+m2v2m_1 u + m_2 v_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2
Explanation
动量是物体运动状态的重要量，动量守恒定律是分析碰撞问题的基础。通过这些公式，我们可以计算和理解物体在碰撞前后的动量变化。
能量守恒定律
Solution
a
能量守恒定律表明，在一个封闭系统中，碰撞前后的总能量保持不变。对于两个粒子，能量守恒可以表示为：12m1u2+12m2v22=12m1v12+12m2v22\frac{1}{2} m_1 u^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2，其中m1m_1和m2m_2是粒子的质量，uu是初始速度，v1v_1和v2v_2是碰撞后的速度。
b
在弹性碰撞中，除了动量守恒外，能量守恒也是分析碰撞的重要工具。通过能量守恒定律，我们可以推导出碰撞前后的速度关系，帮助我们理解粒子在碰撞过程中的能量转移。
Answer
能量守恒定律是指在一个封闭系统中，碰撞前后的总能量保持不变。
Key Concept
能量守恒定律: 在一个封闭系统中，能量的总和在任何时间都是常量。对于弹性碰撞，能量守恒可以表示为：12m1u2+12m2v22=12m1v12+12m2v22\frac{1}{2} m_1 u^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2。
Explanation
能量守恒定律帮助我们理解在碰撞过程中，系统的总能量如何在不同形式之间转化，而不增加或减少。
Parallel: m1u = m1v1 cos θ + m2v2 cos θ Perpendicular: m1v1 sin θ = m2v2 sin θ
Solution
a
根据动量守恒定律，平行方向的动量守恒方程为：m1u=m1v1cos⁡θ+m2v2cos⁡θm_1 u = m_1 v_1 \cos \theta + m_2 v_2 \cos \theta。这表明在碰撞过程中，两个粒子的动量在平行方向上保持不变。
b
垂直方向的动量守恒方程为：m1v1sin⁡θ=m2v2sin⁡θm_1 v_1 \sin \theta = m_2 v_2 \sin \theta。这说明在碰撞过程中，两个粒子的动量在垂直方向上也保持不变。
Answer
动量守恒定律在碰撞中表明，碰撞前后的动量在平行和垂直方向上都保持不变。
Key Concept
动量守恒定律：在一个封闭系统中，碰撞前后总动量保持不变。公式为：m1u+m2v2=m1v1+m2v2m_1 u + m_2 v_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2。
Explanation
动量守恒定律是分析碰撞问题的基础，特别是在弹性碰撞中，动量在各个方向上都保持不变。
什么是平行方向的动量守恒
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