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汽车沿直线从甲地开往乙地。 (1)若在前一半路程的平均速度为，后一半路程的平均速度为，则汽车全程的平均速度为多少？ (2)若汽车在全程所用时间的前一半时间的...
Mar 19, 2024
汽车沿直线从甲地开往乙地。 (1)若在前一半路程的平均速度为，后一半路程的平均速度为，则汽车全程的平均速度为多少？ (2)若汽车在全程所用时间的前一半时间的平均速度为，后一半时间的平均速度为，则全程的平均速度为多少？ (3)若，两种情况下的平均速度哪个大？
Solution
a
设全程距离为 SS，则每半程距离为 S2\frac{S}{2}。根据平均速度的定义，有 vavg=ΔxΔtv_{\text{avg}} = \frac{\Delta x}{\Delta t}。
b
对于前一半路程，时间为 t1=S2v1t_1 = \frac{\frac{S}{2}}{v_1}，对于后一半路程，时间为 t2=S2v2t_2 = \frac{\frac{S}{2}}{v_2}。
c
全程时间为 t=t1+t2t = t_1 + t_2，所以全程平均速度为 vavg全=St1+t2v_{\text{avg全}} = \frac{S}{t_1 + t_2}。
d
代入 t1t_1 和 t2t_2 的表达式，得到 vavg全=SS2v1+S2v2=2v1v2v1+v2v_{\text{avg全}} = \frac{S}{\frac{\frac{S}{2}}{v_1} + \frac{\frac{S}{2}}{v_2}} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}。
Answer
vavg全=2v1v2v1+v2v_{\text{avg全}} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}
Key Concept
平均速度的定义是总位移除以总时间。当路程被分为两段时，每段的平均速度可以用来计算整个路程的平均速度。
Explanation
通过计算每半程的时间，我们可以找到整个路程的总时间，进而得到全程的平均速度。
---
Solution
a
设全程时间为 TT，则每半程时间为 T2\frac{T}{2}。
b
对于前一半时间，位移为 d1=v1⋅T2d_1 = v_1 \cdot \frac{T}{2}，对于后一半时间，位移为 d2=v2⋅T2d_2 = v_2 \cdot \frac{T}{2}。
c
全程位移为 S=d1+d2S = d_1 + d_2，所以全程平均速度为 vavg全=STv_{\text{avg全}} = \frac{S}{T}。
d
代入 d1d_1 和 d2d_2 的表达式，得到 vavg全=v1⋅T2+v2⋅T2T=v1+v22v_{\text{avg全}} = \frac{v_1 \cdot \frac{T}{2} + v_2 \cdot \frac{T}{2}}{T} = \frac{v_1 + v_2}{2}。
Answer
vavg全=v1+v22v_{\text{avg全}} = \frac{v_1 + v_2}{2}
Key Concept
平均速度的定义是总位移除以总时间。当时间被分为两段时，每段的平均速度可以用来计算整个时间的平均速度。
Explanation
通过计算每半程的位移，我们可以找到整个路程的总位移，进而得到全程的平均速度。
---
Solution
a
当 v1=v2v_1 = v_2 时，比较两种情况下的平均速度。
b
对于路程平均速度，vavg全=2v1v2v1+v2=v1v_{\text{avg全}} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2} = v_1（因为 v1=v2v_1 = v_2）。
c
对于时间平均速度，vavg全=v1+v22=v1v_{\text{avg全}} = \frac{v_1 + v_2}{2} = v_1（因为 v1=v2v_1 = v_2）。
d
因此，当 v1=v2v_1 = v_2 时，两种情况下的平均速度相等。
Answer
当 v1=v2v_1 = v_2 时，两种情况下的平均速度相等。
Key Concept
平均速度的计算取决于是否是基于时间还是基于路程。
Explanation
当两段的平均速度相等时，不论是基于时间还是基于路程计算的平均速度都将相等。
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