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Para determinar el ángulo máximo ($\alpha_{\text{max}}$) antes de que el bloque se deslice, consideramos las fuerzas en el bloque. La fuerza de fricción estática máxima es $f_{\text{static}} = \mu_s N$, donde $N$ es la normal. En un plano inclinado, la normal se calcula como $N = Mg \cos(\alpha)$. La fuerza que tiende a deslizar el bloque es $Mg \sin(\alpha)$. Igualando estas fuerzas para encontrar el ángulo crítico: $$\mu_s Mg \cos(\alpha_{\text{max}}) = Mg \sin(\alpha_{\text{max}})$$. Simplificando, obtenemos: $$\tan(\alpha_{\text{max}}) = \mu_s$$, por lo que $$\alpha_{\text{max}} = \tan^{-1}(\mu_s)$$.

Si el bloque se desliza, el estiramiento máximo del resorte se puede calcular usando la energía. La energía potencial del resorte es $PE = \frac{1}{2} k x^2$, donde $x$ es el estiramiento. La energía cinética máxima del bloque al deslizarse es $KE = \frac{1}{2} M v^2$. Usando la conservación de energía, tenemos: $$\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} M v^2$$. La máxima rapidez se puede encontrar usando la aceleración debida a la gravedad y la fricción cinética: $$a = g \sin(\alpha) - \mu_k g \cos(\alpha)$$. Integrando para encontrar la velocidad máxima.

Una vez alcanzado el estiramiento máximo, el bloque no permanecerá en reposo si la fuerza restauradora del resorte es menor que la fuerza de fricción cinética. La condición para que el bloque permanezca en reposo es que la fuerza de fricción estática debe ser mayor que la fuerza neta actuando sobre el bloque. Esto se puede expresar como: $$f_{\text{static}} > f_{\text{net}}$$.

Para encontrar la velocidad angular $\dot{\phi}$ en función de la coordenada esférica $r$, utilizamos la relación entre la velocidad angular y la distancia radial en un cono. La fuerza centrípeta necesaria para mantener la partícula en la superficie del cono se relaciona con la aceleración centrípeta: $$F_c = m \frac{v^2}{r}$$. La velocidad angular se puede expresar como: $$\dot{\phi} = \frac{v}{r}$$.

La fuerza $\vec{f}$ es conservativa si el trabajo realizado por la fuerza en un camino cerrado es cero. Para determinar esto, se puede calcular el trabajo a lo largo de un ciclo y verificar si es cero.

La energía mecánica total se puede expresar como: $$E = KE + PE$$. La energía cinética se puede escribir como: $$KE = \frac{1}{2} m \dot{r}^2$$ y la energía potencial en términos de $r$ se puede derivar de la fuerza de atracción.

La altura de equilibrio del bloque sobre el resorte se puede encontrar usando la condición de equilibrio estático. La fuerza de gravedad $Mg$ debe ser igual a la fuerza restauradora del resorte: $$Mg = kx$$, donde $x$ es el estiramiento del resorte. Resolviendo para $x$, obtenemos la altura de equilibrio.

Al oscilar el punto B, la ecuación del movimiento del bloque se puede describir usando la segunda ley de Newton y considerando la oscilación del resorte. La frecuencia máxima para que el bloque no choque con la mesa se puede encontrar analizando la frecuencia de oscilación del sistema.

Para el oscilador no lineal, la solución del movimiento a primer orden de $\lambda$ se puede encontrar usando la aproximación de Taylor y considerando la forma del potencial.

Para analizar las condiciones de órbitas cerradas y abiertas, se debe considerar la forma del potencial y las fuerzas involucradas. Las órbitas cerradas requieren condiciones específicas en la energía y el momento angular.

Las componentes de la fuerza se pueden encontrar derivando las posiciones en función del tiempo y aplicando la segunda ley de Newton. La fuerza es central si actúa a lo largo de la línea que une la partícula con el centro de la trayectoria.

La energía potencial se puede determinar a partir de las coordenadas y la forma de la trayectoria. La energía cinética se puede calcular usando la velocidad de la partícula. La conservación de la energía total se puede verificar sumando la energía cinética y potencial.