Logo

AskSia

Plus

Численные методы. Интерполирование полиномами. Интерполяционные формулы Лагранжа...
Jun 13, 2024
Численные методы. Интерполирование полиномами. Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона.
Численные методы включают в себя различные алгоритмы для решения математических задач с использованием чисел и вычислений.
Интерполирование полиномами — это метод нахождения промежуточных значений функции, используя полиномы, которые проходят через заданные точки.
Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона являются двумя основными методами интерполирования полиномами.
Интерполяционные формулы Лагранжа
▪
Формула Лагранжа используется для нахождения полинома, который проходит через заданные точки
▪
Полином Лагранжа L(x)L(x) для набора точек (x0,y0),(x1,y1),...,(xn,yn)(x_0, y_0), (x_1, y_1), ..., (x_n, y_n) определяется как сумма произведений базисных полиномов li(x)l_i(x) и значений yiy_i
▪
Базисный полином li(x)l_i(x) определяется как li(x)=∏j=0,j≠inx−xjxi−xjl_i(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}
▪
Полная формула Лагранжа: L(x)=∑i=0nyi⋅li(x)L(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \cdot l_i(x)
Интерполяционные формулы Ньютона
▪
Формула Ньютона используется для нахождения полинома в форме, которая позволяет легко добавлять новые точки
▪
Полином Ньютона P(x)P(x) для набора точек (x0,y0),(x1,y1),...,(xn,yn)(x_0, y_0), (x_1, y_1), ..., (x_n, y_n) определяется с использованием конечных разностей
▪
Полная формула Ньютона: P(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)(x−x1)+...+an(x−x0)(x−x1)...(x−xn−1)P(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)(x - x_1) + ... + a_n(x - x_0)(x - x_1)...(x - x_{n-1})
▪
Коэффициенты aia_i вычисляются с использованием конечных разностей: ai=Δiy0/i!a_i = \Delta^i y_0 / i!
Таким образом, интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона являются мощными инструментами для нахождения полиномов, которые проходят через заданные точки, и имеют свои уникальные преимущества и применения.
© 2023 AskSia.AI all rights reserved