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用中文证明一下：平方和收敛情况下，绝对和一定收敛

Jan 10, 2024

用中文证明一下：平方和收敛情况下，绝对和一定收敛

Generated Graph

Solution by Steps

step 1

要证明平方和收敛情况下，绝对和一定收敛，我们首先需要理解平方和收敛的含义。

step 2

平方和收敛意味着序列的平方项之和是有限的，即对于序列 {a_n}，有 \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 < \infty。

step 3

根据柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz inequality），对于任意两个实数序列 {a_n} 和 {b_n}，都有 (\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n)^2 \leq \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 \sum_{n=1}^{\infty} b_n^2。

step 4

令 b_n = 1 对于所有的 n，我们得到 (\sum_{n=1}^{\infty} a_n)^2 \leq \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 \sum_{n=1}^{\infty} 1^2。

step 5

因为 \sum_{n=1}^{\infty} 1^2 是发散的，但是由于 \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 是收敛的，我们可以得出 \sum_{n=1}^{\infty} a_n 也是收敛的。

step 6

因此，如果一个序列的平方和是收敛的，那么它的绝对和也一定是收敛的。

Answer

如果一个序列的平方和是收敛的，那么它的绝对和也一定是收敛的。

Key Concept

平方和收敛与绝对和收敛的关系

Explanation

柯西-施瓦茨不等式说明了如果一个序列的平方和是收敛的，那么该序列的绝对和也必然收敛。这是因为平方和的收敛性限制了序列项的大小，从而保证了绝对和的收敛性。