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【制御工学】 (1) 図7において, $G_{1}(s)=\frac{a s^{2}+b s}{1+2 s}, G_{2}(s)=\frac{k_{2}}{s...
Aug 6, 2024
ステップバイステップ解決策
ステップ 1
システムのブロック図を確認し、各ブロックの伝達関数を確認します。 G1(s)=as2+bs1+2sG_{1}(s)=\frac{a s^{2}+b s}{1+2 s}, G2(s)=k2s(1+3s)G_{2}(s)=\frac{k_{2}}{s(1+3 s)}, K1=1K_{1}=1, K2=2K_{2}=2 です。
ステップ 2
閉ループ伝達関数 Gc(s)G_{c}(s) は次のように計算されます： Gc(s)=G1(s)G2(s)K1K21+G1(s)G2(s)K1K2 G_{c}(s) = \frac{G_{1}(s) G_{2}(s) K_{1} K_{2}}{1 + G_{1}(s) G_{2}(s) K_{1} K_{2}} これを具体的な伝達関数に代入します。
ステップ 3
代入して計算します： Gc(s)=(as2+bs1+2s)(2s(1+3s))1+(as2+bs1+2s)(2s(1+3s)) G_{c}(s) = \frac{\left(\frac{a s^{2}+b s}{1+2 s}\right) \left(\frac{2}{s(1+3 s)}\right)}{1 + \left(\frac{a s^{2}+b s}{1+2 s}\right) \left(\frac{2}{s(1+3 s)}\right)} =2(as2+bs)s(1+2s)(1+3s)1+2(as2+bs)s(1+2s)(1+3s) = \frac{\frac{2(a s^{2}+b s)}{s(1+2 s)(1+3 s)}}{1 + \frac{2(a s^{2}+b s)}{s(1+2 s)(1+3 s)}} =2(as2+bs)s(1+2s)(1+3s)+2(as2+bs) = \frac{2(a s^{2}+b s)}{s(1+2 s)(1+3 s) + 2(a s^{2}+b s)} =2(as2+bs)s+5s2+6s3+2as2+2bs = \frac{2(a s^{2}+b s)}{s + 5 s^{2} + 6 s^{3} + 2 a s^{2} + 2 b s} =2(as2+bs)s(1+5s+6s2+2as+2b) = \frac{2(a s^{2}+b s)}{s(1 + 5 s + 6 s^{2} + 2 a s + 2 b)} \] 質問2: 入力 r(t)=t22r(t)=\frac{t^{2}}{2} のとき、システムの定常位置偏差 lim⁡t→∞e(t)=0\lim _{t \rightarrow \infty} e(t)=0 にするために aa と bb はいくらにすべきか求めよ。
ステップ 1 ⋮ 入力 r(t)=t22r(t)=\frac{t^{2}}{2} のラプラス変換は R(s)=1s3R(s)=\frac{1}{s^{3}} です。
ステップ 2 ⋮ 定常位置偏差 e(t)e(t) のラプラス変換は E(s)E(s) であり、E(s)=R(s)−Y(s)E(s) = R(s) - Y(s) です。
ステップ 3 ⋮ 定常位置偏差を求めるために、s→0s \to 0 の極限を取ります： lim⁡s→0sE(s)=lim⁡s→0s(1s3−Gc(s)s3) \lim_{s \to 0} s E(s) = \lim_{s \to 0} s \left( \frac{1}{s^{3}} - \frac{G_{c}(s)}{s^{3}} \right) =lim⁡s→0(1s2−Gc(s)s2) = \lim_{s \to 0} \left( \frac{1}{s^{2}} - \frac{G_{c}(s)}{s^{2}} \right) \]
ステップ 4
Gc(s)G_{c}(s) の s→0s \to 0 の極限を考慮し、aa と bb の値を調整します。a=0a = 0 と b=0b = 0 の場合、定常位置偏差がゼロになります。
回答
a=0a = 0, b=0b = 0
質問3: このシステムの伝達関数を求めよ。
ステップ 1
状態方程式を確認します： {x˙1(t)=−x2(t)+u(t)x˙2(t)=4x1(t)+5x2(t)+u(t)y(t)=2x1(t)+3x2(t) \left\{ \begin{array}{c} \dot{x}_{1}(t) = -x_{2}(t) + u(t) \\ \dot{x}_{2}(t) = 4x_{1}(t) + 5x_{2}(t) + u(t) \\ y(t) = 2x_{1}(t) + 3x_{2}(t) \end{array} \right.
ステップ 2
ラプラス変換を適用し、伝達関数を求めます： {sX1(s)=−X2(s)+U(s)sX2(s)=4X1(s)+5X2(s)+U(s)Y(s)=2X1(s)+3X2(s) \left\{ \begin{array}{c} sX_{1}(s) = -X_{2}(s) + U(s) \\ sX_{2}(s) = 4X_{1}(s) + 5X_{2}(s) + U(s) \\ Y(s) = 2X_{1}(s) + 3X_{2}(s) \end{array} \right.
ステップ 3
連立方程式を解き、Y(s)Y(s) と U(s)U(s) の関係を求めます： X1(s)=U(s)−X2(s)s X_{1}(s) = \frac{U(s) - X_{2}(s)}{s} X2(s)=4X1(s)+U(s)s−5 X_{2}(s) = \frac{4X_{1}(s) + U(s)}{s - 5} Y(s)=2X1(s)+3X2(s) Y(s) = 2X_{1}(s) + 3X_{2}(s)
ステップ 4
代入して伝達関数を求めます： G(s)=Y(s)U(s)=2(U(s)−X2(s)s)+3(4(U(s)−X2(s)s)+U(s)s−5)U(s) G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{2 \left( \frac{U(s) - X_{2}(s)}{s} \right) + 3 \left( \frac{4 \left( \frac{U(s) - X_{2}(s)}{s} \right) + U(s)}{s - 5} \right)}{U(s)} \] ∻回答∻ ⚹ G(s)=2(s−5)+3(4+s)s(s−5)G(s) = \frac{2(s-5) + 3(4 + s)}{s(s-5)} ⚹ 質問4: システムの可観測性行列を求め、システムの可観測性を判定せよ。
ステップ 1 ⋮ 可観測性行列を求めます： O=[CCA] \mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \\ CA \end{bmatrix} C=[2amp;3] C = \begin{bmatrix} 2 & 3 \end{bmatrix} A=[0amp;−14amp;5] A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}
ステップ 2 ⋮ 行列を計算します： CA=[2amp;3][0amp;−14amp;5]=[12amp;13] CA = \begin{bmatrix} 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 & 13 \end{bmatrix} O=[2amp;312amp;13] \mathcal{O} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 12 & 13 \end{bmatrix}
ステップ 3 ⋮ 行列のランクを確認します。ランクが2であれば、システムは可観測です。
∻回答∻ ⚹ システムは可観測です。 ⚹ 質問5: システムの可制御性行列を求め、システムの可制御性を判定せよ。
ステップ 1 ⋮ 可制御性行列を求めます： C=[Bamp;AB] \mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & AB \end{bmatrix} B=[11] B = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} A=[0amp;−14amp;5] A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}
ステップ 2 ⋮ 行列を計算します： AB=[0amp;−14amp;5][11]=[−19] AB = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 9 \end{bmatrix} C=[1amp;−11amp;9] \mathcal{C} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 9 \end{bmatrix}
ステップ 3 ⋮ 行列のランクを確認します。ランクが2であれば、システムは可制御です。
∻回答∻ ⚹ システムは可制御です。 ⚹ 質問6: $x_{1}(0)=1, x_{2}(0)=0, u(t)=0$ のとき $x_{1}(t), x_{2}(t)$ を求めよ。
ステップ 1 ⋮ 初期条件と入力を考慮し、状態方程式を解きます。
ステップ 2 ⋮ 状態方程式を解くために、固有値と固有ベクトルを求めます。
ステップ 3 ⋮ 固有値 λ\lambda を求めます： det⁡(A−λI)=0 \det(A - \lambda I) = 0 ∣−λamp;−14amp;5−λ∣=λ2−5λ−4=0 \begin{vmatrix} -\lambda & -1 \\ 4 & 5 - \lambda \end{vmatrix} = \lambda^2 - 5\lambda - 4 = 0 λ=1,−4 \lambda = 1, -4
ステップ 4 ⋮ 固有ベクトルを求めます： λ=1⇒[−1amp;−14amp;4][v1v2]=0⇒v=[1−1] \lambda = 1 \Rightarrow \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 4 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow v = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} λ=−4⇒[4amp;−14amp;9][v1v2]=0⇒v=[14] \lambda = -4 \Rightarrow \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 4 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow v = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}
ステップ 5 ⋮ 初期条件を用いて、一般解を求めます： x(t)=c1et[1−1]+c2e−4t[14] x(t) = c_1 e^{t} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} + c_2 e^{-4t} \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix} x(0)=[10]⇒c1+c2=1,−c1+4c2=0 x(0) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \Rightarrow c_1 + c_2 = 1, -c_1 + 4c_2 = 0 c1=45,c2=15 c_1 = \frac{4}{5}, c_2 = \frac{1}{5} x(t)=45et[1−1]+15e−4t[14] x(t) = \frac{4}{5} e^{t} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} + \frac{1}{5} e^{-4t} \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix} \]
回答
x1(t)=45et+15e−4tx_{1}(t) = \frac{4}{5} e^{t} + \frac{1}{5} e^{-4t}, x2(t)=−45et+45e−4tx_{2}(t) = -\frac{4}{5} e^{t} + \frac{4}{5} e^{-4t}
キーコンセプト
制御システムの伝達関数、可観測性、可制御性、状態方程式の解法
説明
制御システムの解析において、伝達関数の導出、可観測性と可制御性の判定、初期条件を用いた状態方程式の解法が重要です。
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