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一个3级的LFSR的初始状态为100，其反馈函数为f( )=b2 xor b3，求其LFSR的输出序列，并判断其输出序列的周期
Dec 19, 2024
一个3级的LFSR的初始状态为100，其反馈函数为f( )=b2 xor b3，求其LFSR的输出序列，并判断其输出序列的周期
Solution by Steps
step 1
设定LFSR的初始状态为100，反馈函数为f(b2,b3)=b2⊕b3f(b_2, b_3) = b_2 \oplus b_3。
step 2
根据反馈函数，计算下一个输出位：b0=b2⊕b3=0⊕0=0b_0 = b_2 \oplus b_3 = 0 \oplus 0 = 0。
step 3
更新状态为000000，计算下一个输出位：b0=b2⊕b3=0⊕0=0b_0 = b_2 \oplus b_3 = 0 \oplus 0 = 0。
step 4
更新状态为000000，继续计算，发现输出序列为100,000100, 000，并且状态不再变化。
step 5
输出序列为100,000100, 000，周期为2。
Answer
输出序列为100, 000，周期为2
Key Concept
LFSR（线性反馈移位寄存器）用于生成伪随机序列，其输出依赖于初始状态和反馈函数。
Explanation
在此例中，初始状态和反馈函数导致输出序列迅速进入循环，形成周期为2的序列。
次数n=6的多项式中，有多少个本原多项式存在？
Solution by Steps
step 1
设定次数为n=6n=6的多项式的本原多项式的数量为2n−1=26−1=252^{n-1} = 2^{6-1} = 2^5。
step 2
计算25=322^5 = 32，因此次数为6的本原多项式的数量为32。
Answer
32
Key Concept
本原多项式是指在给定次数下，无法被其他多项式整除的多项式。
Explanation
次数为6的多项式中存在32个本原多项式，这些多项式在代数结构中具有重要的性质。
一个4级的LFSR是以生成多项式G(x)=x^4+x+1来构造反馈函数。请判断G(x)是否是本原多项式，以G(x)构造的LFSR的反馈函数是什么？ 若该4级的LFSR的初始状态为1001，求其输出序列，并指出其输出的密钥流是不是m序列。
Solution by Steps
step 1
首先，判断生成多项式G(x)=x4+x+1G(x) = x^4 + x + 1是否是本原多项式。对于4级LFSR，本原多项式的条件是其阶数为4且其根在有限域内是不可约的。经过检查，G(x)G(x)是不可约的，因此是本原多项式。
step 2
以G(x)G(x)构造的LFSR的反馈函数为f(b4,b3,b2,b1)=b4⊕b1f(b_4, b_3, b_2, b_1) = b_4 \oplus b_1，其中⊕ \oplus 表示异或操作。
step 3
初始状态为10011001，计算输出序列。根据反馈函数，计算下一个输出位：b0=b4⊕b1=1⊕1=0b_0 = b_4 \oplus b_1 = 1 \oplus 1 = 0。更新状态为00010001。
step 4
继续计算下一个输出位：b0=b4⊕b1=0⊕1=1b_0 = b_4 \oplus b_1 = 0 \oplus 1 = 1，更新状态为00100010。
step 5
继续计算：b0=b4⊕b1=0⊕0=0b_0 = b_4 \oplus b_1 = 0 \oplus 0 = 0，更新状态为01000100。
step 6
继续计算：b0=b4⊕b1=0⊕0=0b_0 = b_4 \oplus b_1 = 0 \oplus 0 = 0，更新状态为10001000。
step 7
继续计算：b0=b4⊕b1=1⊕0=1b_0 = b_4 \oplus b_1 = 1 \oplus 0 = 1，更新状态为00010001。
step 8
观察到状态00010001已经出现，输出序列为1001,0110,1100,1000,0001,0010,0100,10001001, 0110, 1100, 1000, 0001, 0010, 0100, 1000，周期为8。
step 9
由于输出序列的周期为8，且该序列的长度为24−1=152^4 - 1 = 15，因此该输出序列不是m序列。
Answer
G(x)G(x)是本原多项式，反馈函数为f(b4,b3,b2,b1)=b4⊕b1f(b_4, b_3, b_2, b_1) = b_4 \oplus b_1，输出序列为1001,0110,1100,1000,0001,0010,0100,10001001, 0110, 1100, 1000, 0001, 0010, 0100, 1000，周期为8，输出的密钥流不是m序列。
Key Concept
本原多项式和LFSR的反馈函数
Explanation
本原多项式是不可约的多项式，LFSR的反馈函数决定了状态的更新，输出序列的周期性影响其是否为m序列。
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