AskSia
Plus
f(x）是定义在R上的偶函数，当x<0时，xf'(x)-f(x)>0恒成立，且f(1)=0，则不等式f(x)>0的解集为？
请使用中文进行回答与分析。
Mar 25, 2024
f(x）是定义在R上的偶函数，当x<0时，xf'(x)-f(x)>0恒成立，且f(1)=0，则不等式f(x)>0的解集为？
请使用中文进行回答与分析。
Solution by Steps
step 1
首先，我们知道f(x)是一个偶函数，这意味着对于所有的x，都有f(x)=f(−x)。
step 2
根据题目条件，当 x < 0 时，有 xf'(x) - f(x) > 0 。
step 3
由于f(x)是偶函数，我们可以得出当 x > 0 时， -xf'(-x) - f(-x) > 0 ，即 xf'(x) + f(x) > 0 。
step 4
结合f(1)=0和 xf'(x) + f(x) > 0 （对于 x > 0 ），我们可以推断出f(x)在 x > 0 时是增函数。
step 5
由于f(x)在 x > 0 时是增函数，并且f(1)=0，我们可以得出 f(x) > 0 对于所有 x > 1 成立。
step 6
同样，由于f(x)是偶函数， f(x) > 0 也将对所有 x < -1 成立。
step 7
综上所述，不等式 f(x) > 0 的解集为x∈(−∞,−1)∪(1,+∞)。
Answer
x∈(−∞,−1)∪(1,+∞)
Key Concept
偶函数性质和导数在函数单调性中的应用
Explanation
通过利用偶函数的性质和导数判断函数增减的条件，我们确定了f(x)在正数区间是增函数，并且由于f(1)=0，我们可以得出f(x)在 x > 1 时为正。由于偶函数的对称性，f(x)也在 x < -1 时为正。
© 2023 AskSia.AI all rights reserved