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(b) Sei \[ A=\left(\begin{array}{cccc} -1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & -1 \\...
Mar 15, 2024
(b) Sei A=(−1amp;1amp;−1amp;11amp;−1amp;0amp;−11amp;−1amp;−1amp;−1)∈Q3×4 A=\left(\begin{array}{cccc} -1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & -1 \end{array}\right) \in \mathbb{Q}^{3 \times 4} Bestimmen Sie zwei Matrizen BB und CC mit A=BCA=B C und B~\widetilde{B} injektiv sowie C~\widetilde{C} surjektiv.
Solution by Steps
step 1
Um die Matrix A A als Produkt zweier Matrizen B B und C C darzustellen, wählen wir B B als eine 3×3 3 \times 3 Matrix und C C als eine 3×4 3 \times 4 Matrix
step 2
Wir möchten, dass B~ \widetilde{B} injektiv ist, was bedeutet, dass B B vollen Rang haben muss. Daher wählen wir B B so, dass es eine invertierbare 3×3 3 \times 3 Matrix ist
step 3
Wir möchten auch, dass C~ \widetilde{C} surjektiv ist, was bedeutet, dass jede Spalte von A A als Linearkombination der Spalten von C C ausgedrückt werden kann
step 4
Wir können B B als die Einheitsmatrix I3 I_3 wählen, da diese invertierbar ist und somit B~ \widetilde{B} injektiv macht
step 5
Dann ist C C einfach B−1A B^{-1}A , was in diesem Fall A A ist, da B B die Einheitsmatrix ist
step 6
Also haben wir B=I3 B = I_3 und C=A C = A
Answer
B=(1amp;0amp;00amp;1amp;00amp;0amp;1) B = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) , C=(−1amp;1amp;−1amp;11amp;−1amp;0amp;−11amp;−1amp;−1amp;−1) C = \left(\begin{array}{cccc} -1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & -1 \end{array}\right)
Key Concept
Matrixzerlegung und lineare Abbildungen
Explanation
Die Matrix A A kann als Produkt von zwei Matrizen B B und C C dargestellt werden, wobei B B eine invertierbare Matrix ist, die B~ \widetilde{B} injektiv macht, und C C eine Matrix ist, die C~ \widetilde{C} surjektiv macht. In diesem Fall ist B B die Einheitsmatrix und C C ist gleich A A .
Aufgabe 7. Sei f(X):=(X2+X+1)2f(X):=\left(X^{2}+X+1\right)^{2} und g(X):=(X2+X+1)3∈F2[X]g(X):=\left(X^{2}+X+1\right)^{3} \in \mathbb{F}_{2}[X]. Bestimmen Sie eine Matrix AA mit Minimalpolynom ff und charakteristischem Polynom gg.
Solution by Steps
step 1
Consider the minimal polynomial f(X)=(X2+X+1)2 f(X) = (X^2 + X + 1)^2 and the characteristic polynomial g(X)=(X2+X+1)3 g(X) = (X^2 + X + 1)^3 over the finite field F2 \mathbb{F}_2
step 2
In F2 \mathbb{F}_2 , the polynomial X2+X+1 X^2 + X + 1 is irreducible, and it is the minimal polynomial for a 2x2 companion matrix
step 3
Construct the companion matrix C C for X2+X+1 X^2 + X + 1 as C=(0amp;11amp;1) C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
step 4
The matrix A A should be block-diagonal with two blocks of C C to have the minimal polynomial f(X) f(X)
step 5
Construct A A as A=(Camp;00amp;C)=(0amp;1amp;0amp;01amp;1amp;0amp;00amp;0amp;0amp;10amp;0amp;1amp;1) A = \begin{pmatrix} C & 0 \\ 0 & C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
step 6
To achieve the characteristic polynomial g(X) g(X) , we need a 6x6 matrix. Add a 2x2 identity matrix I I to A A to form a 6x6 matrix
step 7
Construct the final matrix A A as A=(Camp;0amp;00amp;Camp;00amp;0amp;I)=(0amp;1amp;0amp;0amp;0amp;01amp;1amp;0amp;0amp;0amp;00amp;0amp;0amp;1amp;0amp;00amp;0amp;1amp;1amp;0amp;00amp;0amp;0amp;0amp;1amp;00amp;0amp;0amp;0amp;0amp;1) A = \begin{pmatrix} C & 0 & 0 \\ 0 & C & 0 \\ 0 & 0 & I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Answer
A=(0amp;1amp;0amp;0amp;0amp;01amp;1amp;0amp;0amp;0amp;00amp;0amp;0amp;1amp;0amp;00amp;0amp;1amp;1amp;0amp;00amp;0amp;0amp;0amp;1amp;00amp;0amp;0amp;0amp;0amp;1) A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Key Concept
Companion Matrices and Block Diagonal Matrices
Explanation
The minimal polynomial dictates the smallest block-diagonal structure, while the characteristic polynomial determines the size of the matrix. By combining companion matrices and identity matrices in a block-diagonal form, we can construct a matrix with the desired minimal and characteristic polynomials.
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