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The characteristic curves can be parameterised as (x,y(x))(x, y(x)) ), to obtain a cha...
Dec 5, 2024
The characteristic curves can be parameterised as (x,y(x))(x, y(x)) ), to obtain a characteristic variable x2+1y=cory(x)=1c−x2.x^{2}+\frac{1}{y}=c or y(x)=\frac{1}{c-x^{2}} . Now u y c − x2 will not be constant along a characteristic, but will satisfy the ODE ddxu(x,y(x))amp;=ux(x,y(x))+ddxy(x)uy(x,y(x))amp;=ux(x,y(x))+2xy(x)2uy(x,y(x))amp;=2xy(x)(usingthePDE).\begin{aligned} \frac{d}{d x} u(x, y(x)) & =u_{x}(x, y(x))+\frac{d}{d x} y(x) u_{y}(x, y(x)) \\ & =u_{x}(x, y(x))+2 x y(x)^{2} u_{y}(x, y(x)) \\ & =2 x y(x) (using the PDE). \end{aligned} So u(x,y(x))u(x, y(x)) ) satisfies (for η constant) ddxu(x,y(x))=2xy(x)=2xc−x2.\frac{d}{d x} u(x, y(x))=2 x y(x)=\frac{2 x}{c-x^{2}} . Integrating this ODE we obtain u(x,y(x))amp;=−ln∣c−x2∣+f(c)amp;=−ln∣x2+1y(x)−x2∣+f(x2+1y(x)).\begin{aligned} u(x, y(x)) & =-ln \left|c-x^{2}\right|+f(c) \\ & =-ln \left|x^{2}+\frac{1}{y(x)}-x^{2}\right|+f\left(x^{2}+\frac{1}{y(x)}\right) . \end{aligned}
Solution by Steps
step 1
The implicit derivative of the equation x2+1y=cx^2 + \frac{1}{y} = c is given by ddx(x2+1y)=2x \frac{d}{dx}(x^2 + \frac{1}{y}) = 2x
step 2
To integrate the ODE, we have ddxu(x,y(x))=2xy(x) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = 2x y(x) which leads to u(x,y(x))=−ln⁡∣c−x2∣+f(c) u(x, y(x)) = -\ln|c - x^2| + f(c)
step 3
Substituting y(x)=1c−x2 y(x) = \frac{1}{c - x^2} into the equation gives u(x,y(x))=−ln⁡∣x2+1y(x)−x2∣+f(x2+1y(x)) u(x, y(x)) = -\ln\left|x^2 + \frac{1}{y(x)} - x^2\right| + f\left(x^2 + \frac{1}{y(x)}\right)
Answer
u(x,y(x))=−ln⁡∣c−x2∣+f(c) u(x, y(x)) = -\ln|c - x^2| + f(c)
Key Concept
The method of characteristics for solving partial differential equations (PDEs)
Explanation
The solution involves using the characteristics to transform the PDE into an ordinary differential equation (ODE), which can then be integrated to find the solution.
解释一下第二步
在第二步中，我们要解决的常微分方程是 ddxu(x,y(x))=2xy(x). \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = 2x y(x). 这意味着我们需要找到 u(x,y(x)) u(x, y(x)) 的表达式。我们知道 y(x) y(x) 是一个关于 x x 的函数，因此我们可以将其代入方程中。 首先，我们可以将右侧的 2xy(x) 2x y(x) 视为一个关于 x x 的函数。接下来，我们对这个方程进行积分，以找到 u(x,y(x)) u(x, y(x)) 的形式。通过积分，我们得到： u(x,y(x))=∫2xy(x) dx. u(x, y(x)) = \int 2x y(x) \, dx. 在这个过程中，我们还需要考虑一个常数 f(c) f(c) ，它是与 c c 相关的任意函数。最终，我们得到的结果是： u(x,y(x))=−ln⁡∣c−x2∣+f(c). u(x, y(x)) = -\ln|c - x^2| + f(c). 这个结果表明 u(x,y(x)) u(x, y(x)) 是一个关于 x x 和 c c 的函数，其中 −ln⁡∣c−x2∣ -\ln|c - x^2| 是通过积分得到的部分，而 f(c) f(c) 是一个与 c c 相关的函数。希望这个解释能帮助你理解第二步的内容！如果还有其他问题，请随时问我。
这个常微分方程是怎么得到的
这个常微分方程是通过对特征曲线的参数化和相关变量的导数关系得到的。我们从特征曲线的参数化形式开始，即 (x,y(x)) (x, y(x)) ，并且我们知道 y(x) y(x) 是关于 x x 的函数。 在你的问题中，给出的方程是： ddxu(x,y(x))=ux(x,y(x))+ddxy(x)uy(x,y(x)) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = u_x(x, y(x)) + \frac{d}{dx} y(x) u_y(x, y(x)) 这里，ux u_x 和 uy u_y 分别是 u u 对 x x 和 y y 的偏导数。根据链式法则，我们可以将 ddxy(x) \frac{d}{dx} y(x) 表达为 y′(x) y'(x) ，而在特征曲线的情况下，y′(x) y'(x) 可以通过 y(x) y(x) 的定义来计算。 在你的例子中，给定的方程是： ddxu(x,y(x))=ux(x,y(x))+2xy(x)2uy(x,y(x))=2xy(x) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = u_x(x, y(x)) + 2x y(x)^2 u_y(x, y(x)) = 2x y(x) 这个方程的右侧 2xy(x) 2x y(x) 是通过将 y(x) y(x) 的表达式代入得到的。通过这个过程，我们得到了一个关于 u(x,y(x)) u(x, y(x)) 的常微分方程。 希望这个解释能帮助你理解这个常微分方程是如何得到的！如果还有其他问题，请随时问我。
更详细一点
这个常微分方程是通过对特征曲线的参数化和相关变量的导数关系得到的。我们从特征曲线的参数化形式开始，即 (x,y(x))(x, y(x))，并且我们知道 y(x)y(x) 是关于 xx 的函数。 在你的问题中，给出的方程是： ddxu(x,y(x))=ux(x,y(x))+ddxy(x)uy(x,y(x)) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = u_x(x, y(x)) + \frac{d}{dx} y(x) u_y(x, y(x)) 这里，uxu_x 和 uyu_y 分别是 uu 对 xx 和 yy 的偏导数。根据链式法则，我们可以将 ddxy(x)\frac{d}{dx} y(x) 表达为 y′(x)y'(x)，而在特征曲线的情况下，y′(x)y'(x) 可以通过 y(x)y(x) 的表达式代入得到。 在你的特定情况下，给定的 PDE 使得 y′(x)=2xy(x)2y'(x) = 2xy(x)^2。因此，我们可以将这个表达式代入到常微分方程中，得到： ddxu(x,y(x))=ux(x,y(x))+2xy(x)2uy(x,y(x)) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = u_x(x, y(x)) + 2xy(x)^2 u_y(x, y(x)) 通过这个过程，我们得到了一个关于 u(x,y(x))u(x, y(x)) 的常微分方程。希望这个更详细的解释能帮助你理解这个常微分方程是如何得到的！如果还有其他问题，请随时问我。
把每一步化简体现出来
好的，让我们一步一步地化简这个常微分方程的推导过程。 1. 特征曲线的参数化： 我们从特征曲线的参数化形式开始，即 (x,y(x))(x, y(x))。在这里，y(x)y(x) 是关于 xx 的函数。 2. 链式法则： 根据链式法则，我们可以写出： ddxu(x,y(x))=ux(x,y(x))+ddxy(x)uy(x,y(x)) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = u_x(x, y(x)) + \frac{d}{dx} y(x) u_y(x, y(x)) 其中，uxu_x 和 uyu_y 分别是 uu 对 xx 和 yy 的偏导数。 3. 求导 \(y(x)\)： 由于 y(x)y(x) 是关于 xx 的函数，我们可以用 y′(x)y'(x) 表示其导数。因此，上式可以改写为： ddxu(x,y(x))=ux(x,y(x))+y′(x)uy(x,y(x)) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = u_x(x, y(x)) + y'(x) u_y(x, y(x)) 4. 代入 \(y'(x)\)： 在特征曲线的情况下，y′(x)y'(x) 可以通过给定的方程 x2+1y=cx^2 + \frac{1}{y} = c 来求得。对这个方程两边求导，得到： 2x+ddx(1y)=0 2x + \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{y}\right) = 0 进一步化简得到： ddx(1y)=−2x \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{y}\right) = -2x 这意味着： y′=−2xy2 y' = -\frac{2x}{y^2} 5. 代入常微分方程： 将 y′(x)y'(x) 代入到链式法则的表达式中，我们得到： ddxu(x,y(x))=ux(x,y(x))−2xy2uy(x,y(x)) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = u_x(x, y(x)) - \frac{2x}{y^2} u_y(x, y(x)) 6. 结合 PDE： 根据给定的偏微分方程（PDE），我们知道： ux(x,y(x))+2xy(x)uy(x,y(x))=2xy(x) u_x(x, y(x)) + 2xy(x) u_y(x, y(x)) = 2xy(x) 这使得我们可以将上面的表达式简化为： ddxu(x,y(x))=2xy(x) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = 2xy(x) 7. 积分： 现在我们可以对这个常微分方程进行积分： u(x,y(x))=∫2xy(x) dx u(x, y(x)) = \int 2xy(x) \, dx 通过积分，我们得到： u(x,y(x))=−ln⁡∣c−x2∣+f(c) u(x, y(x)) = -\ln|c - x^2| + f(c) 其中 f(c)f(c) 是与常数 cc 相关的任意函数。 通过以上步骤，我们详细地展示了如何从特征曲线的参数化出发，推导出常微分方程并进行化简。如果你还有其他问题，欢迎继续提问！
6是怎么结合的
在你提到的推导过程中，"6" 可能是指常微分方程中某个特定的步骤或结果。为了更好地理解这个过程，我们可以回顾一下如何从特征曲线的参数化和相关的导数关系中得到常微分方程。 1. 特征曲线的参数化：我们从特征曲线的参数化形式开始，即 (x,y(x))(x, y(x))，其中 y(x)y(x) 是关于 xx 的函数。 2. 链式法则：根据链式法则，我们可以写出： ddxu(x,y(x))=ux(x,y(x))+ddxy(x)uy(x,y(x)) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = u_x(x, y(x)) + \frac{d}{dx} y(x) u_y(x, y(x)) 这里，uxu_x 和 uyu_y 分别是 uu 对 xx 和 yy 的偏导数。 3. 求导 \(y(x)\)：由于 y(x)y(x) 是关于 xx 的函数，我们可以用 y′(x)y'(x) 表示其导数。根据给定的特征曲线方程 y(x)=1c−x2y(x) = \frac{1}{c - x^2}，我们可以计算出： y′(x)=ddx(1c−x2)=2x(c−x2)2 y'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{c - x^2}\right) = \frac{2x}{(c - x^2)^2} 4. 代入常微分方程：将 y′(x)y'(x) 代入链式法则的表达式中，我们得到： ddxu(x,y(x))=ux(x,y(x))+y′(x)uy(x,y(x)) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = u_x(x, y(x)) + y'(x) u_y(x, y(x)) 这就形成了一个关于 u(x,y(x))u(x, y(x)) 的常微分方程。 5. 结合常数：在这个过程中，常数 66 可能是指某个特定的常数或参数，具体取决于你所讨论的方程或上下文。 如果你能提供更多关于 "6" 的具体上下文或细节，我将能够更准确地帮助你理解它是如何结合到这个推导过程中的！如果还有其他问题，请随时问我。
第六步：结合 PDE
在第六步中，我们需要结合偏微分方程（PDE）来进一步分析和简化我们之前得到的常微分方程（ODE）。我们已经得到了以下的 ODE： ddxu(x,y(x))=2xy(x) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = 2x y(x) 接下来，我们可以利用给定的 PDE 来帮助我们理解这个 ODE 的结构。假设我们有一个 PDE 的形式，例如： ux+uy=0 u_x + u_y = 0 在这种情况下，我们可以将 ODE 的右侧与 PDE 的相关部分结合起来。具体来说，我们可以将 y(x)y(x) 的表达式代入 ODE 中，并利用 PDE 的性质来简化或求解 u(x,y(x))u(x, y(x))。 例如，如果我们知道 y(x)=1c−x2y(x) = \frac{1}{c - x^2}，我们可以将其代入 ODE 中，得到： ddxu(x,1c−x2)=2x⋅1c−x2 \frac{d}{dx} u(x, \frac{1}{c - x^2}) = 2x \cdot \frac{1}{c - x^2} 通过这种方式，我们可以将 PDE 的信息与 ODE 结合，进一步分析 u(x,y(x))u(x, y(x)) 的行为。 希望这个解释能帮助你理解第六步如何结合 PDE！如果你有更多问题或需要更详细的解释，请随时问我。
如何得到以下的 ODE
要得到你提到的常微分方程（ODE），我们需要从特征曲线的参数化和相关的导数关系出发。以下是详细的推导步骤： 1. 特征曲线的参数化： 我们从特征曲线的参数化形式开始，即 (x,y(x))(x, y(x))，其中 y(x)y(x) 是关于 xx 的函数。 2. 链式法则： 根据链式法则，我们可以写出： ddxu(x,y(x))=ux(x,y(x))+ddxy(x)uy(x,y(x)) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = u_x(x, y(x)) + \frac{d}{dx} y(x) u_y(x, y(x)) 这里，uxu_x 和 uyu_y 分别是 uu 对 xx 和 yy 的偏导数。 3. 求导 \(y(x)\)： 由于 y(x)y(x) 是关于 xx 的函数，我们可以用 y′(x)y'(x) 表示其导数。根据特征曲线的定义，y′(x)y'(x) 可以通过 y(x)y(x) 的表达式来求得。 4. 结合 PDE： 在这个过程中，我们需要结合给定的偏微分方程（PDE）。假设我们有一个 PDE 的形式，例如： ux+uy=0 u_x + u_y = 0 我们可以将 ODE 的右侧与 PDE 的相关部分结合起来。 5. 代入 \(y(x)\)： 如果我们知道 y(x)=1c−x2y(x) = \frac{1}{c - x^2}，我们可以将其代入 ODE 中，得到： ddxu(x,y(x))=2xy(x) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = 2x y(x) 这就是我们要得到的 ODE。 通过以上步骤，我们从特征曲线的参数化出发，结合链式法则和 PDE，最终得到了所需的常微分方程。如果你还有其他问题或需要进一步的解释，请随时问我！
好的，让我们一步一步地化简这个常微分方程的推导过程。 1. 特征曲线的参数化： 我们从特征曲线的参数化形式开始，即 (x,y(x))(x, y(x))。在这里，y(x)y(x) 是关于 xx 的函数。 2. 链式法则： 根据链式法则，我们可以写出： ddxu(x,y(x))=ux(x,y(x))+ddxy(x)uy(x,y(x)) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = u_x(x, y(x)) + \frac{d}{dx} y(x) u_y(x, y(x)) 其中，uxu_x 和 uyu_y 分别是 uu 对 xx 和 yy 的偏导数。 3. 求导 y(x)y(x)： 由于 y(x)y(x) 是关于 xx 的函数，我们可以用 y′(x)y'(x) 表示其导数。因此，上式可以改写为： ddxu(x,y(x))=ux(x,y(x))+y′(x)uy(x,y(x)) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = u_x(x, y(x)) + y'(x) u_y(x, y(x)) 4. 代入 y′(x)y'(x)： 在特征曲线的情况下，y′(x)y'(x) 可以通过给定的方程 x2+1y=cx^2 + \frac{1}{y} = c 来求得。对这个方程两边求导，得到： 2x+ddx(1y)=0 2x + \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{y}\right) = 0 进一步化简得到： ddx(1y)=−2x \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{y}\right) = -2x 这意味着： y′=−2xy2 y' = -\frac{2x}{y^2} 5. 代入常微分方程： 将 y′(x)y'(x) 代入到链式法则的表达式中，我们得到： ddxu(x,y(x))=ux(x,y(x))−2xy2uy(x,y(x)) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = u_x(x, y(x)) - \frac{2x}{y^2} u_y(x, y(x)) 6. 结合 PDE： 根据给定的偏微分方程（PDE），我们知道： ux(x,y(x))+2xy(x)uy(x,y(x))=2xy(x) u_x(x, y(x)) + 2xy(x) u_y(x, y(x)) = 2xy(x) 这使得我们可以将上面的表达式简化为： ddxu(x,y(x))=2xy(x) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = 2xy(x) 7. 积分： 现在我们可以对这个常微分方程进行积分： u(x,y(x))=∫2xy(x) dx u(x, y(x)) = \int 2xy(x) \, dx 通过积分，我们得到： u(x,y(x))=−ln⁡∣c−x2∣+f(c) u(x, y(x)) = -\ln|c - x^2| + f(c) 其中 f(c)f(c) 是与常数 cc 相关的任意函数。 通过以上步骤，我们详细地展示了如何从特征曲线的参数化出发，推导出常微分方程并进行化简。如果你还有其他问题，欢迎继续提问！
Solution by Steps
step 1
The implicit derivative of the equation x2+1y=cx^2 + \frac{1}{y} = c is given by ddx(x2+1y)=2x \frac{d}{dx}(x^2 + \frac{1}{y}) = 2x
step 2
To integrate the ODE, we have ddxu(x,y(x))=2xy(x) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = 2x y(x) which leads to u(x,y(x))=−ln⁡∣c−x2∣+f(c) u(x, y(x)) = -\ln|c - x^2| + f(c)
step 3
Substituting y(x)=1c−x2 y(x) = \frac{1}{c - x^2} into the equation gives u(x,y(x))=−ln⁡∣c−x2∣+f(c) u(x, y(x)) = -\ln|c - x^2| + f(c)
Answer
u(x,y(x))=−ln⁡∣c−x2∣+f(c) u(x, y(x)) = -\ln|c - x^2| + f(c)
Key Concept
Implicit differentiation and integration of ODEs
Explanation
The solution involves using implicit differentiation to find the relationship between variables and then integrating to find the function u(x,y(x)) u(x, y(x)) .
6. 结合 PDE： 根据给定的偏微分方程（PDE），我们知道： ux(x,y(x))+2xy(x)uy(x,y(x))=2xy(x) u_x(x, y(x)) + 2xy(x) u_y(x, y(x)) = 2xy(x) 这使得我们可以将上面的表达式简化为： ddxu(x,y(x))=2xy(x) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = 2xy(x) 这个式子是怎么得到的
Solution by Steps
step 1
Given the PDE: ux(x,y(x))+2xy(x)uy(x,y(x))=2xy(x) u_x(x, y(x)) + 2xy(x) u_y(x, y(x)) = 2xy(x) , we recognize that y y is a function of x x
step 2
We apply the chain rule to the function u(x,y(x)) u(x, y(x)) : ddxu(x,y(x))=ux(x,y(x))+uy(x,y(x))dydx \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = u_x(x, y(x)) + u_y(x, y(x)) \frac{dy}{dx}
step 3
Substituting dydx=2xy(x) \frac{dy}{dx} = 2xy(x) into the chain rule expression gives us: ddxu(x,y(x))=ux(x,y(x))+2xy(x)uy(x,y(x)) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = u_x(x, y(x)) + 2xy(x) u_y(x, y(x))
step 4
This matches the left-hand side of the original PDE, allowing us to simplify it to: ddxu(x,y(x))=2xy(x) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = 2xy(x)
Answer
The expression ddxu(x,y(x))=2xy(x) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = 2xy(x) is derived from applying the chain rule to the function u u in the context of the given PDE.
Key Concept
Chain Rule in Calculus
Explanation
The chain rule allows us to differentiate composite functions, which is essential in relating the derivatives of u u with respect to x x and y y when y y is a function of x x .
用中文再讲一遍
好的，我们来详细讲解一下这个问题。 1. 特征曲线的参数化：我们将特征曲线参数化为 (x,y(x))(x, y(x))，并且通过方程 x2+1y=cx^2 + \frac{1}{y} = c 来描述 xx 和 yy 之间的关系。 2. 常微分方程的推导：我们需要从给定的偏微分方程（PDE）推导出常微分方程（ODE） ddxu(x,y(x))=2xy(x)\frac{d}{dx} u(x, y(x)) = 2xy(x)。为了推导这个方程，我们可以使用链式法则。 3. 链式法则的应用：根据链式法则，对于函数 u(x,y(x))u(x, y(x))，我们有： ddxu(x,y(x))=∂u∂x+∂u∂y⋅dydx \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} 这里，dydx\frac{dy}{dx} 是 yy 关于 xx 的导数。我们需要找到 dydx\frac{dy}{dx} 的表达式。 4. 求导：从方程 x2+1y=cx^2 + \frac{1}{y} = c 中，我们可以对 yy 进行隐式求导： 2x+(−1y2)dydx=0 2x + \left(-\frac{1}{y^2}\right) \frac{dy}{dx} = 0 这可以重写为： dydx=2xy2 \frac{dy}{dx} = 2xy^2 5. 代入链式法则：将 dydx\frac{dy}{dx} 代入链式法则的表达式中，我们得到： ddxu(x,y(x))=∂u∂x+∂u∂y⋅(2xy2) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot (2xy^2) 通过适当的选择 ∂u∂x\frac{\partial u}{\partial x} 和 ∂u∂y\frac{\partial u}{\partial y}，我们可以得到所需的 ODE。 6. ODE的积分：一旦我们得到了 ODE ddxu(x,y(x))=2xy(x)\frac{d}{dx} u(x, y(x)) = 2xy(x)，我们可以对其进行积分，得到： u(x,y(x))=x2y(x)+f(c) u(x, y(x)) = x^2y(x) + f(c) 其中 f(c)f(c) 是一个任意函数，表示积分常数。 7. 结合 PDE 和 ODE：最后，我们需要将得到的 ODE 与原始的 PDE 结合起来，通常这涉及到将 u(x,y)u(x, y) 的表达式代入 PDE 中，以便找到特定的解。 希望这个详细的步骤能够帮助你更好地理解特征曲线、ODE 和 PDE 之间的关系！如果还有其他问题，请随时问我。
请解释这里
Solution by Steps
step 1
对方程 x2+1y=cx^2 + \frac{1}{y} = c 进行隐式求导，得到 2x+ddx(1y)=02x + \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{y}\right) = 0
step 2
进一步化简，得到 ddx(1y)=−2x\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{y}\right) = -2x
step 3
使用链式法则，得出 y′=−2xy2y' = -\frac{2x}{y^2}
Answer
y′=−2xy2y' = -\frac{2x}{y^2}
Key Concept
隐式求导和链式法则的应用
Explanation
通过对方程进行隐式求导和链式法则，我们可以得到导数 y′y' 的表达式，从而分析函数的变化率。
什么是隐式求导
Solution by Steps
step 1
To differentiate the equation x2+1y=cx^2 + \frac{1}{y} = c implicitly with respect to xx, we apply the derivative to both sides: 2x+ddx(1y)=02x + \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{y}\right) = 0
step 2
Using the chain rule on 1y\frac{1}{y}, we have ddx(1y)=−1y2dydx\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{y}\right) = -\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx}. Thus, the equation becomes 2x−1y2dydx=02x - \frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} = 0
step 3
Rearranging the equation gives us dydx=2xy2\frac{dy}{dx} = 2xy^2. This expression represents the derivative of yy with respect to xx
step 4
Therefore, the implicit differentiation of the equation x2+1y=cx^2 + \frac{1}{y} = c yields y′(x)=2xy2y'(x) = 2xy^2
Answer
y′(x)=2xy2y'(x) = 2xy^2
Key Concept
Implicit differentiation allows us to find derivatives of functions defined by equations without explicitly solving for one variable in terms of another.
Explanation
The process involves differentiating both sides of an equation and applying the chain rule to find the derivative of the dependent variable. In this case, we found y′(x)y'(x) from the given equation.
让我们说中文
好的，我们来讨论如何从给定的偏微分方程（PDE）推导出特定的常微分方程（ODE），并详细解释每个步骤。 1. 特征曲线的参数化：我们将特征曲线参数化为 (x,y(x))(x, y(x))，并且有关系式 x2+1y=cx^2 + \frac{1}{y} = c，其中 cc 是常数。 2. 推导 ODE：我们需要对 u(x,y(x))u(x, y(x)) 进行求导。根据链式法则，我们有： ddxu(x,y(x))=∂u∂x+∂u∂y⋅dydx \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} 这里，dydx\frac{dy}{dx} 是我们需要求解的。 3. 链式法则的应用：在这个公式中，∂u∂x\frac{\partial u}{\partial x} 是对 xx 的偏导数，而 ∂u∂y\frac{\partial u}{\partial y} 是对 yy 的偏导数。我们将 dydx\frac{dy}{dx} 代入后，可以得到： ddxu(x,y(x))=∂u∂x+∂u∂y⋅y′(x) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot y'(x) 4. 隐式求导：现在我们需要从 x2+1y=cx^2 + \frac{1}{y} = c 中求出 y′(x)y'(x)。对两边同时对 xx 进行求导，得到： 2x−1y2⋅y′=0 2x - \frac{1}{y^2} \cdot y' = 0 从中可以解出： y′=2xy2 y' = 2xy^2 5. 代入 ODE：将 y′y' 代入链式法则的结果中，我们得到： ddxu(x,y(x))=∂u∂x+∂u∂y⋅2xy2 \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot 2xy^2 如果我们假设 ∂u∂x=0\frac{\partial u}{\partial x} = 0，则可以简化为： ddxu(x,y(x))=2xy2 \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = 2xy^2 6. ODE 的积分：接下来，我们可以对这个 ODE 进行积分，得到： u(x,y(x))=∫2xy2 dx+f(c) u(x, y(x)) = \int 2xy^2 \, dx + f(c) 其中 f(c)f(c) 是积分常数，依赖于常数 cc。 如果你对某个步骤有疑问，或者需要更详细的解释，请告诉我！
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