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The characteristic curves can be parameterised as (x,y(x))(x, y(x)) ), to obtain a cha...
Dec 5, 2024
The characteristic curves can be parameterised as (x,y(x))(x, y(x)) ), to obtain a characteristic variable x2+1y=cory(x)=1c−x2.x^{2}+\frac{1}{y}=c or y(x)=\frac{1}{c-x^{2}} . Now u y c − x2 will not be constant along a characteristic, but will satisfy the ODE ddxu(x,y(x))amp;=ux(x,y(x))+ddxy(x)uy(x,y(x))amp;=ux(x,y(x))+2xy(x)2uy(x,y(x))amp;=2xy(x)(usingthePDE).\begin{aligned} \frac{d}{d x} u(x, y(x)) & =u_{x}(x, y(x))+\frac{d}{d x} y(x) u_{y}(x, y(x)) \\ & =u_{x}(x, y(x))+2 x y(x)^{2} u_{y}(x, y(x)) \\ & =2 x y(x) (using the PDE). \end{aligned} So u(x,y(x))u(x, y(x)) ) satisfies (for η constant) ddxu(x,y(x))=2xy(x)=2xc−x2.\frac{d}{d x} u(x, y(x))=2 x y(x)=\frac{2 x}{c-x^{2}} . Integrating this ODE we obtain u(x,y(x))amp;=−ln∣c−x2∣+f(c)amp;=−ln∣x2+1y(x)−x2∣+f(x2+1y(x)).\begin{aligned} u(x, y(x)) & =-ln \left|c-x^{2}\right|+f(c) \\ & =-ln \left|x^{2}+\frac{1}{y(x)}-x^{2}\right|+f\left(x^{2}+\frac{1}{y(x)}\right) . \end{aligned}
Solution by Steps
step 1
The implicit derivative of the equation x2+1y=cx^2 + \frac{1}{y} = c is given by ddx(x2+1y)=2x \frac{d}{dx}(x^2 + \frac{1}{y}) = 2x
step 2
To integrate the ODE, we have ddxu(x,y(x))=2xy(x) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = 2x y(x) which leads to u(x,y(x))=−ln⁡∣c−x2∣+f(c) u(x, y(x)) = -\ln|c - x^2| + f(c)
step 3
Substituting y(x)=1c−x2 y(x) = \frac{1}{c - x^2} into the equation gives u(x,y(x))=−ln⁡∣x2+1y(x)−x2∣+f(x2+1y(x)) u(x, y(x)) = -\ln\left|x^2 + \frac{1}{y(x)} - x^2\right| + f\left(x^2 + \frac{1}{y(x)}\right)
Answer
u(x,y(x))=−ln⁡∣c−x2∣+f(c) u(x, y(x)) = -\ln|c - x^2| + f(c)
Key Concept
The method of characteristics for solving partial differential equations (PDEs)
Explanation
The solution involves using the characteristics to transform the PDE into an ordinary differential equation (ODE), which can then be integrated to find the solution.
解释一下第二步
在第二步中，我们要解决的常微分方程是 ddxu(x,y(x))=2xy(x). \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = 2x y(x). 这意味着我们需要找到 u(x,y(x)) u(x, y(x)) 的表达式。我们知道 y(x) y(x) 是一个关于 x x 的函数，因此我们可以将其代入方程中。 首先，我们可以将右侧的 2xy(x) 2x y(x) 视为一个关于 x x 的函数。接下来，我们对这个方程进行积分，以找到 u(x,y(x)) u(x, y(x)) 的形式。通过积分，我们得到： u(x,y(x))=∫2xy(x) dx. u(x, y(x)) = \int 2x y(x) \, dx. 在这个过程中，我们还需要考虑一个常数 f(c) f(c) ，它是与 c c 相关的任意函数。最终，我们得到的结果是： u(x,y(x))=−ln⁡∣c−x2∣+f(c). u(x, y(x)) = -\ln|c - x^2| + f(c). 这个结果表明 u(x,y(x)) u(x, y(x)) 是一个关于 x x 和 c c 的函数，其中 −ln⁡∣c−x2∣ -\ln|c - x^2| 是通过积分得到的部分，而 f(c) f(c) 是一个与 c c 相关的函数。希望这个解释能帮助你理解第二步的内容！如果还有其他问题，请随时问我。
这个常微分方程是怎么得到的
这个常微分方程是通过对特征曲线的参数化和相关变量的导数关系得到的。我们从特征曲线的参数化形式开始，即 (x,y(x)) (x, y(x)) ，并且我们知道 y(x) y(x) 是关于 x x 的函数。 在你的问题中，给出的方程是： ddxu(x,y(x))=ux(x,y(x))+ddxy(x)uy(x,y(x)) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = u_x(x, y(x)) + \frac{d}{dx} y(x) u_y(x, y(x)) 这里，ux u_x 和 uy u_y 分别是 u u 对 x x 和 y y 的偏导数。根据链式法则，我们可以将 ddxy(x) \frac{d}{dx} y(x) 表达为 y′(x) y'(x) ，而在特征曲线的情况下，y′(x) y'(x) 可以通过 y(x) y(x) 的定义来计算。 在你的例子中，给定的方程是： ddxu(x,y(x))=ux(x,y(x))+2xy(x)2uy(x,y(x))=2xy(x) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = u_x(x, y(x)) + 2x y(x)^2 u_y(x, y(x)) = 2x y(x) 这个方程的右侧 2xy(x) 2x y(x) 是通过将 y(x) y(x) 的表达式代入得到的。通过这个过程，我们得到了一个关于 u(x,y(x)) u(x, y(x)) 的常微分方程。 希望这个解释能帮助你理解这个常微分方程是如何得到的！如果还有其他问题，请随时问我。
更详细一点
这个常微分方程是通过对特征曲线的参数化和相关变量的导数关系得到的。我们从特征曲线的参数化形式开始，即 (x,y(x))(x, y(x))，并且我们知道 y(x)y(x) 是关于 xx 的函数。 在你的问题中，给出的方程是： ddxu(x,y(x))=ux(x,y(x))+ddxy(x)uy(x,y(x)) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = u_x(x, y(x)) + \frac{d}{dx} y(x) u_y(x, y(x)) 这里，uxu_x 和 uyu_y 分别是 uu 对 xx 和 yy 的偏导数。根据链式法则，我们可以将 ddxy(x)\frac{d}{dx} y(x) 表达为 y′(x)y'(x)，而在特征曲线的情况下，y′(x)y'(x) 可以通过 y(x)y(x) 的表达式代入得到。 在你的特定情况下，给定的 PDE 使得 y′(x)=2xy(x)2y'(x) = 2xy(x)^2。因此，我们可以将这个表达式代入到常微分方程中，得到： ddxu(x,y(x))=ux(x,y(x))+2xy(x)2uy(x,y(x)) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = u_x(x, y(x)) + 2xy(x)^2 u_y(x, y(x)) 通过这个过程，我们得到了一个关于 u(x,y(x))u(x, y(x)) 的常微分方程。希望这个更详细的解释能帮助你理解这个常微分方程是如何得到的！如果还有其他问题，请随时问我。
把每一步化简体现出来
好的，让我们一步一步地化简这个常微分方程的推导过程。 1. 特征曲线的参数化： 我们从特征曲线的参数化形式开始，即 (x,y(x))(x, y(x))。在这里，y(x)y(x) 是关于 xx 的函数。 2. 链式法则： 根据链式法则，我们可以写出： ddxu(x,y(x))=ux(x,y(x))+ddxy(x)uy(x,y(x)) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = u_x(x, y(x)) + \frac{d}{dx} y(x) u_y(x, y(x)) 其中，uxu_x 和 uyu_y 分别是 uu 对 xx 和 yy 的偏导数。 3. 求导 \(y(x)\)： 由于 y(x)y(x) 是关于 xx 的函数，我们可以用 y′(x)y'(x) 表示其导数。因此，上式可以改写为： ddxu(x,y(x))=ux(x,y(x))+y′(x)uy(x,y(x)) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = u_x(x, y(x)) + y'(x) u_y(x, y(x)) 4. 代入 \(y'(x)\)： 在特征曲线的情况下，y′(x)y'(x) 可以通过给定的方程 x2+1y=cx^2 + \frac{1}{y} = c 来求得。对这个方程两边求导，得到： 2x+ddx(1y)=0 2x + \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{y}\right) = 0 进一步化简得到： ddx(1y)=−2x \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{y}\right) = -2x 这意味着： y′=−2xy2 y' = -\frac{2x}{y^2} 5. 代入常微分方程： 将 y′(x)y'(x) 代入到链式法则的表达式中，我们得到： ddxu(x,y(x))=ux(x,y(x))−2xy2uy(x,y(x)) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = u_x(x, y(x)) - \frac{2x}{y^2} u_y(x, y(x)) 6. 结合 PDE： 根据给定的偏微分方程（PDE），我们知道： ux(x,y(x))+2xy(x)uy(x,y(x))=2xy(x) u_x(x, y(x)) + 2xy(x) u_y(x, y(x)) = 2xy(x) 这使得我们可以将上面的表达式简化为： ddxu(x,y(x))=2xy(x) \frac{d}{dx} u(x, y(x)) = 2xy(x) 7. 积分： 现在我们可以对这个常微分方程进行积分： u(x,y(x))=∫2xy(x) dx u(x, y(x)) = \int 2xy(x) \, dx 通过积分，我们得到： u(x,y(x))=−ln⁡∣c−x2∣+f(c) u(x, y(x)) = -\ln|c - x^2| + f(c) 其中 f(c)f(c) 是与常数 cc 相关的任意函数。 通过以上步骤，我们详细地展示了如何从特征曲线的参数化出发，推导出常微分方程并进行化简。如果你还有其他问题，欢迎继续提问！
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