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EXERCICE 1. Calculer, lorsqu'elles existent, les limites suivantes : 1. limx→1...

Mar 25, 2024

EXERCICE 1. Calculer, lorsqu'elles existent, les limites suivantes : 1. limx→1 < 1 − x 2 √ 1 − x 2. limx→1 1 − x 2 1 − √ x 3. lim x→+∞ r x + q x + √ x − √ x 4. lim x→1 x − 1 x n − 1 5. limx→0 x 2 + 2|x| x 6. lim x→−∞ x 2 + 2|x| x 7. limx→0 √3 1 + x 2 − 1 x 2 8. lim x→2 e x − e 2 x 2 + x − 6 9. limx→1 ln x x − 1 10. limx→0 √ 1 + sin x − √ 1 − sin x x 11. limx→π sin2 x 1 + cos x 12. limx→0 tan x − sin x sin x(cos 2x − cos x) EXERCICE 2. 1. La fonction suivante est-elle prolongeable par continuité en 0 ? f(x) = sin 1 x sin x 2. La fonction g : R \ {−1, 1} → R dénie ci-dessous est-elle prolongeable par continuité sur R tout entier ? g(x) = 1 1 − x − 2 1 − x 2 . EXERCICE 3. 1. Soit f : [a, b] → [a, b] une fonction continue. Montrer qu'il existe un x0 ∈ [a, b] tel que f(x0) = x0. On dit alors que x0 est un point xe de f. 2. Montrer que l'équation cos x = x admet une solution comprise entre 0 et 1. EXERCICE 4. Soit la fonction f : R → R dénie par : f(x) = 1 1 + x 2 1. Montrer que f réalise une bijection de [0, +∞[ sur un intervalle I que l'on précisera. 2. Quelles sont les propriétés de f −1 : I → [0, +∞[ ? 3. Déterminer explicitement f −1 .

Generated Graph

Solution by Steps

step 1

To find the limit as

x

approaches 1 for

\frac{1 - x^2}{\sqrt{1 - x}}

, we recognize this as an indeterminate form of type

\frac{0}{0}

. We can use L'Hôpital's Rule by differentiating the numerator and the denominator

step 2

Differentiating the numerator

1 - x^2

gives us

-2x

, and differentiating the denominator

\sqrt{1 - x}

gives us

-\frac{1}{2\sqrt{1 - x}}

step 3

Applying L'Hôpital's Rule, we get

\lim_{x \to 1} \frac{-2x}{-\frac{1}{2\sqrt{1 - x}}}

. Simplifying this expression, we find the limit is

\lim_{x \to 1} 4x\sqrt{1 - x}

step 4

Substituting

x = 1

into the simplified expression, we get

4 \cdot 1 \cdot \sqrt{1 - 1} = 0

. Therefore, the limit is 0

Answer

The limit is 0.

Key Concept

L'Hôpital's Rule for indeterminate forms

Explanation

When faced with an indeterminate form such as

\frac{0}{0}

, L'Hôpital's Rule allows us to take the derivative of the numerator and the denominator separately and then take the limit of the resulting expression.

Please note that the above solution is for the first limit in the student's question. Due to the complexity and number of questions asked, each limit would typically require a separate detailed solution following the same format. If you need the solutions for the other limits, please let me know, and I will provide them one by one.