Logo

AskSia

Plus

22:59 Q .Il 4G 284 理学研究科 OS 2022.pdf 東京理科大学 大学院理学研究科 (茖士課程) 入学試験 [1] （1）袙形写像 $f...
Jul 26, 2024
Solution by Steps
step 1
Given the linear map f:R3→R4f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, we know that ff maps the vectors [110]\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right], [011]\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], and [101]\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right] to [2221+k]\left[\begin{array}{c}2 \\ 2 \\ 2 \\ 1+k\end{array}\right], [212k]\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 2 \\ k\end{array}\right], and [4−141]\left[\begin{array}{c}4 \\ -1 \\ 4 \\ 1\end{array}\right] respectively
step 2
To find f([100])f\left(\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]\right), we need to express [100]\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right] as a linear combination of the given vectors
step 3
Let [100]=a[110]+b[011]+c[101]\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right] = a\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right] + b\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right] + c\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]. Solving for aa, bb, and cc, we get a=1a = 1, b=−1b = -1, and c=0c = 0
step 4
Therefore, f([100])=1⋅[2221+k]−1⋅[212k]=[0101]f\left(\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]\right) = 1 \cdot \left[\begin{array}{c}2 \\ 2 \\ 2 \\ 1+k\end{array}\right] - 1 \cdot \left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 2 \\ k\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]
step 5
To find kk, we use the fact that the dimension of the kernel of ff is 1. This implies that the rank of ff is 2
step 6
The vectors [2221+k]\left[\begin{array}{c}2 \\ 2 \\ 2 \\ 1+k\end{array}\right], [212k]\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 2 \\ k\end{array}\right], and [4−141]\left[\begin{array}{c}4 \\ -1 \\ 4 \\ 1\end{array}\right] must be linearly dependent
step 7
Setting up the linear dependence equation a[2221+k]+b[212k]+c[4−141]=0a\left[\begin{array}{c}2 \\ 2 \\ 2 \\ 1+k\end{array}\right] + b\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 2 \\ k\end{array}\right] + c\left[\begin{array}{c}4 \\ -1 \\ 4 \\ 1\end{array}\right] = 0, we solve for aa, bb, and cc
step 8
Solving the system, we find that k=1k = 1
step 9
The basis for Im⁡f\operatorname{Im} f is given by the images of the basis vectors of R3\mathbb{R}^{3} under ff
step 10
The basis vectors are [2222]\left[\begin{array}{c}2 \\ 2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right] and [4−141]\left[\begin{array}{c}4 \\ -1 \\ 4 \\ 1\end{array}\right]
step 11
To find the orthogonal complement (Im⁡f)⊥(\operatorname{Im} f)^{\perp}, we solve for vectors orthogonal to the basis vectors of Im⁡f\operatorname{Im} f
step 12
The orthogonal complement is spanned by [0001]\left[\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]
Answer
f([100])=[0101]f\left(\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]\right) = \left[\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]
k=1k = 1
The basis for Im⁡f\operatorname{Im} f is {[2222],[4−141]}\left\{\left[\begin{array}{c}2 \\ 2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}4 \\ -1 \\ 4 \\ 1\end{array}\right]\right\}
The orthogonal complement (Im⁡f)⊥(\operatorname{Im} f)^{\perp} is spanned by [0001]\left[\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]
Key Concept
Linear Transformation and Kernel
Explanation
The problem involves finding the image of a vector under a linear transformation, determining a parameter to ensure linear dependence, and finding the basis for the image and its orthogonal complement.
ステップバイステップ解決策
質問 1
ステップ 1
線形写像 f:R3→R4f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^4 が与えられています。まず、ff の行列表示を求めます。与えられた情報から、ff は次のように定義されます：
f([110])=[2221+k],f([011])=[212k],f([101])=[4−141] f\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 1+k \end{bmatrix}, \quad f\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \\ k \end{bmatrix}, \quad f\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}
ステップ 2
これらの情報を基に、ff の行列表示 AA を求めます。AA の列は、ff の基底ベクトルの像です。
A=[2amp;2amp;42amp;1amp;−12amp;2amp;41+kamp;kamp;1] A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & 4 \\ 1+k & k & 1 \end{bmatrix}
ステップ 3
f([100])f\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\right) を求めるために、AA の第1列を取り出します。
f([100])=[2221+k] f\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 1+k \end{bmatrix}
回答
f([100])=[2221+k]f\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 1+k \end{bmatrix}
質問 2
ステップ 1
ff の核の次元が1であることから、AA のランクは2であることがわかります。AA のランクを求めるために、行列の簡約化を行います。
A=[2amp;2amp;42amp;1amp;−12amp;2amp;41+kamp;kamp;1] A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & 4 \\ 1+k & k & 1 \end{bmatrix}
ステップ 2
行列 AA のランクを求めるために、行基本変形を行います。
[2amp;2amp;42amp;1amp;−12amp;2amp;41+kamp;kamp;1]→[2amp;2amp;40amp;−1amp;−50amp;0amp;00amp;k−1amp;−3] \begin{bmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & 4 \\ 1+k & k & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & k-1 & -3 \end{bmatrix}
ステップ 3
行列のランクが2であるため、k−1=0k-1 = 0 となります。したがって、k=1k = 1 です。
回答
k=1k = 1
質問 3
ステップ 1
ff の像の基底を求めるために、AA の列ベクトルの線形独立な組み合わせを見つけます。
A=[2amp;2amp;42amp;1amp;−12amp;2amp;42amp;1amp;1] A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}
ステップ 2
行基本変形を行い、線形独立な列ベクトルを見つけます。
[2amp;2amp;42amp;1amp;−12amp;2amp;42amp;1amp;1]→[2amp;2amp;40amp;−1amp;−50amp;0amp;00amp;0amp;0] \begin{bmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
ステップ 3
基底は、行列のランクに対応する列ベクトルです。したがって、基底は次のようになります。
{[2222],[2121]} \left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}
回答
{[2222],[2121]}\left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}
質問 4
ステップ 1
Im⁡f\operatorname{Im} f の直交補空間 (Im⁡f)⊥(\operatorname{Im} f)^{\perp} の正規直交基底を求めます。まず、Im⁡f\operatorname{Im} f の基底を正規化します。
[2222],[2121] \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}
ステップ 2
グラム・シュミットの正規直交化法を用いて、基底を直交化します。
u1=[2222],u2=[2121]−[2121]⋅[2222][2222]⋅[2222][2222] \mathbf{u}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{u}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}} \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}
ステップ 3
計算を行い、直交基底を求めます。
u2=[2121]−1216[2222]=[2121]−[1.51.51.51.5]=[0.5−0.50.5−0.5] \mathbf{u}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{12}{16} \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1.5 \\ 1.5 \\ 1.5 \\ 1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5 \\ -0.5 \\ 0.5 \\ -0.5 \end{bmatrix}
ステップ 4
直交基底を正規化します。
e1=14[2222],e2=11[0.5−0.50.5−0.5]=[0.5−0.50.5−0.5] \mathbf{e}_1 = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{e}_2 = \frac{1}{\sqrt{1}} \begin{bmatrix} 0.5 \\ -0.5 \\ 0.5 \\ -0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5 \\ -0.5 \\ 0.5 \\ -0.5 \end{bmatrix}
回答
{[0.50.50.50.5],[0.5−0.50.5−0.5]}\left\{ \begin{bmatrix} 0.5 \\ 0.5 \\ 0.5 \\ 0.5 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0.5 \\ -0.5 \\ 0.5 \\ -0.5 \end{bmatrix} \right\}
キーコンセプト
線形写像、核、像、直交補空間、グラム・シュミットの正規直交化法
説明
線形写像の核と像を求める方法、および直交補空間の正規直交基底を求める方法について説明しました。
© 2023 AskSia.AI all rights reserved